2020届高考数学一轮复习条件概率、二项分布及正态分布练习含解析

专题10.6 条件概率、二项分布及正态分布

【考试要求】

1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系；

2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；

3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；

4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 【知识梳理】 1.条件概率

2.事件的相互独立性

(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立.

(2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B －

，A －

与B ，A －

与B －

也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ). 3.全概率公式 (1)完备事件组：

设Ω是试验E 的样本空间，事件A 1，A 2，…，A n 是样本空间的一个划分，满足： ①A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω.

②A 1，A 2，…，A n 两两互不相容，则称事件A 1，A 2，…，A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式

设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪n

i ＝1

A i ＝S ，则对任一事件

B ，有P (B )＝∑n

i ＝1

P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则

P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).

(2)二项分布

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )n －k

(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概

率. 5.正态分布 (1)正态分布的定义

如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a

b φ

μ，σ

(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分

布，记为X ～N (μ，σ2

).其中φ

μ，σ

(x )＝

12πσ

e

（x －μ）

2

2σ

2

(σ>0).

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1σ

2π；

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).

2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2

)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( )

(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )

n －k

，k ＝0，1，2，…，n 表示的概率分

布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.( )

(4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

【解析】 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A ，B 为相互独立事件时，公式P (AB )＝P (A )P (B )才成立；对于(4)，取到红球的个数X 服从二项分布. 【教材衍化】

2.(选修2－3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310

B.13

C.38

D.29

【答案】 B

【解析】 设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝1

5，P (AB )

＝

2×310×9＝1

15

， 故P (B |A )＝

P （AB ）P （A ）＝1

3

.

3.(选修2－3P75B2改编)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X >2c －1)＝P (X

3

【解析】 ∵X ～N (3，1)，∴正态曲线关于x ＝3对称， 且P (X >2c －1)＝P (X

3.

【真题体验】

4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)

C.0.4

D.0.3

【答案】 B