5.2扭转应力
弹性力学柱体的扭转
第九章柱体的扭转 9.1 扭转问题的位移解法 学习思路: 本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x，y)。 基本未知量翘曲函数Φ (x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。 学习要点： 1. 扭转位移假设； 2. 扭转翘曲函数满足的基本方程； 3. 扭转边界条件； 4. 扭转端面边界条件； 当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形，设坐标为z 的横截面的扭转角为α，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角α = ? z。 对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设： 1．刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示 。当扭转角α很小时，设OP=ρ，则P点的位移为 2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角?成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=?Φ (x，y)。 Φ(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力 剪应力与抗拉强度关系 我们在设计的时候常常取许用剪切应力,在不同的情况下安全系数不同,许用剪切应力就不一样...校核各种许用应力常常与许用拉应力有联系,而许用材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系 一拉伸 钢材的屈服强度与许用拉伸应力的关系 [σ ]= σu/n n为安全系数 a.ASME VIII-II, [σ ]=0.67σs 二剪切 许用剪应力与许用拉应力的关系 1 对于塑性材料 [τ]=0.6—0.8[σ] 2 对于脆性材料 [τ]=0.8--1.0[σ] 三挤压 许用挤压应力与许用拉应力的关系 1 对于塑性材料 [σj]=1.5—2.5[σ] 2 对于脆性材料 [σj]=0.9—1.5[σ] 注：：[σj]=(1.7—2)[σ]（部分教科书常用） 四扭转 许用扭转应力与许用拉应力的关系:
1 对于塑性材料 [σn]=0.5—0.6[σ] a.ASME VIII-II AD132-0.6Sm(Key,shear ring and pin), b.ASME VIII-II AD132-0.8Sm(Sm=0.67σs(circle round of stem ) 2 对于脆性材料 [σn]=0.8—1.0[σ] 轴的扭转变形用每米长的扭转角来衡量。对于一般传动可取 [υ]=0.5°--/m;对于精密传动，可取[υ]=0.25°—0.5°/M；对于要求不严格的轴，[υ]可大于1°/M计算。 五弯曲 许用弯曲应力与拉应力的关系: 1 对于薄壁型钢一般采用轴向拉伸应力的许用值. 2 对于实心型钢可以略高一点,具体数值可参见有关规范..拉应力与材料的屈服强度有关,
扭转切应力
扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力
根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论
矩形截面轴扭转切应力分析
矩形截面轴扭转切应力分析 摘要：本文在Ansys10.0 Multiphysics平台上，采用有限元法对矩形截面轴扭转切应力的分析，证明有限元法对模拟分析矩形截面轴切应力问题的有效性。1、引言 内燃机曲轴的曲柄臂，钻井用的钻轴等就是矩形截面的受扭轴。矩形截面轴的自由扭转不同于圆轴的扭转，由于轴向翘曲变形的存在，使得平截面假定不再成立，因此材料力学方法在解决该问题时遇到了很大的困难。本文是以矩形截面轴为例，简略讨论矩形截面轴和圆截面轴扭转切应力的问题，并且得到的实验解与理论解做了比较。 2、弹性力学解答 横截面为矩形的轴，在其侧面画上纵向和横向周界线如图1（a），扭转变形后横向周界线变为空间曲线如图1（b）。横截面上的切应力分布略如图2 所示。 图1 图2 边缘个点的切应力形成于边界相应的顺流。四个角点上的切应力等于零，最大切应力发生于矩形长边的中点，可按下列公式计算： 2 max T hb = а τ 式中а是一个与比值h/b有关的系数。短边的切应力 1 τ是短边上的最大切应力，并且按下列公式计算： 1max = τυτ 式中 max τ是长边重点的最大切应力。系数υ与比值h/b有关。部分h/b列于下表1： 表1 当横截面为圆形时的轴， max t T W = τ，其中， t W为抗扭截面系数。其中
3 16p t I W R ==πD 3、计算模型 问题描述 使用ANSYS 分析该过程主要包括三个步骤： 1.创建有限元模型（矩形轴）——前处理 ① 构建几何模型：矩形轴，采用h/b=1/2,长度L=200mm ，宽度h=100mm ， 高b=50mm 。 圆形轴，长度L=200mm ，半径R=40mm ② 定义材料属性：弹性模量 Ex=210MPa ；泊松比 NUxy=0.3 ③ 单元类型：Quad 4node 42 和 Brick 8node45 ④ 划分单元：矩形轴按六边形单元网格划分 2.施加载荷并求解 施加载荷：给矩形轴分别加扭矩为T=2K N ·m 、3K N ·m 、4K N ·m 3.查看分析结果，检验结果的正确性。 数值比较与计算结果： 当T 分别取2K 、3K 、4K Mpa 时，矩形截面采用h/b=2:1,则 max 2 T hb =τа 的结果分别为32.5Mpa 、 48.7Mpa 和65Mpa 使圆形截面与矩形截面面积相等，得到max t T W =τ 表2矩形轴与圆形轴的理论计算值与实验值 图3 矩形截面的变形图和应力图
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即 所以 (a) 由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得 (b) 将式(b)代入(a)式得(1-40)
实验五圆管扭转应力实验
实验五 圆管扭转应力实验 一、实验目的 1、用应变电测法测定材料的切变弹性模量G 。 2、验证切应力公式 二、实验设备与仪器 1、材料力学多功能实验台 2、静态电阻应变仪。 3、直尺和游标卡尺 三、实验原理和方法 在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比，这就是材料的剪切胡克定律，其表达式为： γτG = （5-1） 式中，比例常数G 即为材料的切变模量。由上式得 γ τ=G （5-2） 式中的τ和γ均可由实验测定，其方法如下： 1、τ的测定：试件贴应变片处是空心圆管，横截面上的内力如图A(a )所示。试件贴片处的切应力为 ： t W T = τ （5-3） 式中，W t 为圆管的抗扭截面系数。 2、γ的测定：在圆管表面与轴线成±45°方向处各贴一枚规格相同的应变片(见图A(a ))，组成图A(b )所示的半桥接到电阻应变仪上，从应变仪上读出应变值γε(由电测原理可知应变值γε应当是45°方向线应变的2倍）即： ?=452εεr （5-4）
另一方面，圆轴表面上任一点为纯剪切应力状态(见图A(c ))。根据广义胡克定律有： []221) (145γττμτμτε==+=--=G E E o 因此： r εγ= （5-5） 把（式5-3）、（式5-4）和（式5-5）代入（式5-2），可得： γ εt W T G = 图A 实验采用等量逐级加载法：设各级扭矩增量为i T ?，应变仪读数增量为ri ε?，从每一级加载中，可求得切变模量为：ri t i W T G ε??= 同样采用端直法，材料的切变模量是以上i G 的算术平均值，即：∑==n i i G n G 1 1 四、实验步骤 1、测量并记录有关尺寸。 2、组桥接线。 3、用手稍微转动加力螺杆，检查装置和应变仪是否正常工作。 4、加载分四级进行，每级加载500N （500 N →1000 N →1500 N →2000 N )，分别记录每级载荷下的应变值。 五、实验结果处理 从三组实验数据中，选择较好的一组，按实验记录数据求出切变模量i G ，即：ri t i W T G ε??= 采用端直法，材料的切变模量为G ，即：∑==n i i G n G 11