第四章图像变换2

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(C)
8×8的Haar变换矩阵为：
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(C)
对于更大的N也有相同的形式。由于矩阵中有许多常数和 零值，Haar变换可以非常快的计算出来。
用矩阵形式表示，则一维Haar变换由下式表示： [F(u)]=[Haar][f(x)] [f(x)]=[ Haar]T[F(u)] 二维Haar变换矩阵形式表示为： [F(u,v)]=[Haar][f(x,y)][Haar]T [f(x,y)]=[Haar]T[F(u,v)][Haar]
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(C)
进而言之，如果信号和图像中感兴趣的分量与一个或少
量基函数相似，那么这些分量将出对那些（仅仅是那些）基 函数有大系数来体现。这样它们在变换中就“容易被找到”。 而且，如果一个不希望的分量（噪声）与一个或少量基函数 相似，那么，它也会容易地被找到。它也因而容易地被去掉， 此时只需要简单地降低(或置为零）相应的变换系数即可。归 纳起来，用与信号或图像中所期望的成分相似的基函数对该 信号或图像进行变换是有潜在价值的。还需指出的是瞬变分 量是无法与傅立叶变换或其它波状变换的基函数相似的。尽 管傅立叶变换能够用正弦函数之和表示任何分析函数—甚至 是一个狭窄的瞬态信号。然而，这是通过错综复杂的安排， 通过相互抵消除去一些正弦波的方式，构造出在大部分区间 都为零的函数而实现的。当然，这对于可逆变换来说是一个 有效的方法，但它却使此函数的频谱上呈现一幅相当混乱的 构成。
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(C)
一个变换中的每个系数都是通过输入函数和其中 一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个 值表示输入函数和那个特定基函数之间的相似程度， 如果基函数是正交的（或正交归一的），那么任两个 基函数间的内积为零，这表明它们完全不相似。所以 如果信号或图像是由与一个或几个基函数相似的分量 组成系数以外，其余系数都将很小。
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(C)
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(C)
一般情况的Haar函数定义为
4×4的Haar变换矩阵为：
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(C)
Haar变换可以直接反应线和边，这是由于它的基函数有 类似的这些特征。在各种变换中，如果一个信号或信号中的 一部分可以近似地匹配上某一基函数，则在变换后，会产生 一个对应那个基函数的较大的变换系数。由于基函数是正交 的，则在这个信号对于其它的基函数将产生较小的系数。这 样，Haar变换可以给出一些边的尺寸和位置信息。
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(C)
1985年，Y.Meyer，A.Grossmann与I.Daubechies共同进行 研究，选取连续小波空间的一个离散子集，得到了一组离 散的小波基（称为小波框架）；而且根据小波框架的离散 子集的函数，恢复了连续小波函数的全空间。
在此之后，小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐 被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应 用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方 法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调合 分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。如 将小波用于地震信号的分析与处理；将二进小波变换用于 图像的边缘检测、图像压缩与重构；将连续小波变换用于 涡流的研究；将小波变换用于噪声中的未知瞬态信号；将 小波变换用于语音信号的分析、变换和综合;将正交小波 变换用于算子及拟微分算子的化简；将小波变换的自适应 性用于解微分方程；将小波变换用于电磁场领域的若干问 题研究等，都取得了初步成果。
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(C)
下图说明了波与小波之间的差异。顶上的两条曲线是 频率不同的余弦波，持续宽度相同。底下的两条是沿着轴 向频率和位置都不相同的小波。
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(C)
根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间 －频率平面上的位置对应于分量主要频率和发生的时间,下图 是一个示例。
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(C)
在小波变换的系统理论发展起来以前，其基本思想已经 在许多领域的应用中有所体现，只是还没有在数学上形成一 个体系。例如，计算机视觉中的多分辨率分析等，金字塔式 图像压缩编码概念，通信及语言处理中的子带编码，数字信 号处理中的多采样率滤波器组，这些在工程中获得广泛应用 的朴实方法，都可以用小波变换作为理论基础。
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(C)
Hadamard矩阵的各行中元素符号变换次数若用k来表示，则 相当于富里叶变换中频率含义的列率可定义为：
Hh和Hw的区别是Hw是按列率排列的。 当已知低阶的Hadamard矩阵HN后，则可按：
斜变换的2×2矩阵表示如下：
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(C)
由此2×2矩阵，通过下面的方式产生N×N矩阵：
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(C)
其中，I为阶数为N/2-2的单位阵，且
例如，当N=4时，bN=1/51/2,aN=2/51/2, I=[0],则4×4的 slant变换矩阵S为：
4.6.2 波和小波（wavelet） 小波概念的真正出现应算于1984年，法国地球物理学家 J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数 的伸缩、平移系展开。随后，他与A.Grossmann共同进 行研究，发展了连续小波变换的几何体系。由此能将任 意一个信号分解成对空间和尺度的贡献。
由定义
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(C)
如果把时域数据作如下拓展： 则fe(x)的离散余弦变换可以写成下式：
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(C)
实际上
是2N点的离散傅立叶变换，所以，离散余弦变换可以通 过把数据序列拓展为2N，然后作离散傅立叶变换，得到 的结果取其实部便可以得到离散余弦变换。
比如，图像中的物体是出现在不同大小尺度上的。例如， 一条边缘可以是由黑到白的一个突变，也可以是在一个较长 距离上的渐变。对于图像表示或分析，采用多分辨率策略就 是在设法利用这一概念。制图方法也可以用来说明这一策略。 地图通常以不同尺度来描得。一幅地图的尺度是领域实际大 小与它在地图上的表示的比值。在较大尺寸上，例如在地球 仪上，大陆和海洋等主要特征是可见的，而像城市街道这样 的细节信息就在地图的分辨率之外了。而在较小的尺度上， 细节变得可见而较大的特征却不见了。因而，引到一个较远 距离处的地点，就需要一套用不同尺度绘制的地图。
同样，逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度 权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。所 以如果信号或图像是由与一个或少量基函数相似的分 量组成，那么只需对一些有较大幅度的项求和即可， 因此其它许多项都可以忽略，这样信号和图像就可用 少量变换以紧凑的方式表示。
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将低阶Hadamard矩阵扩展为高阶Hadamard矩阵。
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(C)
4.3 Haar（哈尔）变换 Haar变换是一种元素值仅取1，-1，0或上述值乘以
21/2的变换矩阵,它是另一种计算效率高的变换。这种变换 的特点是其变换结果由两部分组成，即由原图象全体象 素值决定的区域与由原图象部分象素值所决定的区域两 部分所构成。
4.2 离散余弦(cos) 变换 离散余弦变换也称为DCT变换，一维离散余弦变换的定
义由下式表示：
式中，u为频率变量，u=0,1,…,N-1。f(x)是时域N点序列， x=0,1,…,N-1。
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(C)
一维离散余弦变换的反变换由下式表示： 二维离散余弦变换的定义由下式表示：
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(C)
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(C)
用矩阵形式表示，则一维slant变换由下式表示： [F(u)]=[S][f(x)] [f(x)]=[S]T[F(u)]
二维slant变换矩阵形式表示为： [F(u,v)]=[S][f(x,y)][S]T [f(x,y)]=[S]T[F(u,v)][S]
Haar函数是完备的、归一化的正交函数。在[0，1] 区间内，harr(0,t)为1,harr(1,t)在左半个区间内取值 为1，在右半个区间内取值为-1。它的其它函数值取0和 ±1乘以21/2幂，即±21/2，±2，±2×21/2，±4等。具体 定义如下：
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(C)
对4×4的变换矩阵[A]为：
二维离散余弦变换矩阵形式表示为： [F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T [f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]
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(C)
离散余弦变换可以按照定义直接计算，但实际上它是 一种有快速算法的正交变换，下面我们推导其快速算法。
Walsh－Hadamard变换是一种矩阵元素值仅由1或一1 组成的正交变换矩阵，因此，用这种变换矩阵作变换处 理时，仅用到加、减法运算，可大大提高变换处理速度。 对 于 Walsh － Hadamard 矩 阵 ， 有 两 种 典 型 的 序 ， 即 Hadamard序的Hh及Walsh序的Hw，对4×4的矩阵,Hh及Hw 分别为：
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(C)
4.6 小波(Wavelet)变换
4.6.1 傅立叶变换的局限性
自从1822年傅立叶发表“热传导解析理论”以来，傅立 叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果 最好的一种分析手段。傅立叶变换使用的是正弦曲线作为 它的正交基函数，对于积分变换来说，这些函数都在两个 方向无限扩展。离散傅立叶变换的基向量也在它们的整个 域中非零。也就是说，它们并不是紧支集。对比之下，瞬 态信号只在一个很短的区间内非零。与此相同的，图像中 的许多重要特征（例如边缘）也是在空间位置中高度局部 化的。这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，这使 得傅立叶变换以及在前面提到过的一些其它变换，在压缩 和分析包含瞬态或局部化成分的信号和图像时，得不到最 佳表示。
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数字图象处理演示稿 纪玉波制作25Fra bibliotek(C)
实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号； 语音信号；检测信号等，它们的频域特性都随时间而变 化，因此也可称它们为时变信号，对这一类时变信号进 行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频域信 息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种具 有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号， 一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。
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(C)
4.4 斜(slant) 变换 在图像处理中用到的另一种正交变换是斜变换。斜向
量和斜变换是Enomoto 和Shibata于1971年提出来的。斜 变换是一种由锯齿波构成的变换，其特点是能有效地表示 图象中缓慢的灰度变化，，目前斜变换以成功应用于图像 编码。
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其中，f(x,y)是空间域二维阵列函数，x,y=1,2,…,N-1， F(u,v)是频域二维阵列函数。式中表示的阵列为N×N。 二维离散余弦变换的反变换由下式表示：
如果采用矩阵形式表示，则一维离散余弦变换由下式表示： [F(u)]=[A][f(x)] [f(x)]=[A]T[F(u)]
同理，在作反变换时，首先将F(u)作如下拓展：
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那么，反变换也可以由下式表示：
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4.3 Walsh－Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换
离散傅立叶变换和离散余弦变换在快速算法中都用到 复数乘法，相对而言仍需要较多的计算时间。在某些应 用领域，需要更为方便有效的变换方法，沃尔什一哈达 玛变换就是其中的一种。