大学物理(上册)_电相互作用和静电场(3)
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令
qr 40 r 3
U 0
沿径向积分
U
1 r
qr dr U E dl 3 4 r 0 P r
o
r
qdr q 2 4 0 r 4 0 r r
R） [例二] 均匀带电球面场中电势分布（ q ，
q
R
由高斯定理
P r
A
L
F dl q0 E dl 0
L
静电场中任意闭合路径 静电场环路定理： E dl 0
L
路径上各点的总场强 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了静电场 是保守力场. 凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能W
由
A保 E P W A静 电 力 q0 E dl ( Wb Wa ) Wa Wb
b a
零势点
令
Wb 0 Wa q0
E dl
a
得： q0 在场中某点的电势能等于将 q0 由该点沿任 意路径移到零势点过程中电场力做的功.
Wa : 静电场与场中电荷 q0 共同拥有.
Wa / q0 : 取决于电场分布、场点位置和零势点选取， 与场中检验电荷 q0 无关.可用以描述静电场
q0qdr q0q 1 1 A dA ( ) L ra 4 r 2 40 ra rb 0
rb
b
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关， 与所通过的路径无关. 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场.
二. 环路定理 由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关， 与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
?
第三篇 相互作用和场 第九章 电相互作用和静电场
第九章第三讲
本章共7讲
§ 8.4
一. 静电力的功
环路定理
电势
q0 r q dr dl r
rb
ra
a L
场源电荷： q
F
检验电荷：q0
F q0 E
q0qr dl q0qdr dA F dl 3 40 r 40 r 2
电荷无限分布，在有限远处选 零势点:令 ，沿 Uo 0 x 轴积 分.
Fra Baidu biblioteka
o
a
x
x a 区域：
a U E x dx E x dx 0 ( )a 0 0 x a
F q0 E W F W E ( ) U gradU q0 q0
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值。
即：E 的大小是 U 沿电场线方向的空间变化率 .
其指向是 U 降低最快的方向.
给出又一种求 的方法： E grad U
E
r12
R
o
U
q 4 0 R
r
1 r
o
R
r
[例三]无限大均匀带电平面 场中电势分布.
电场分布:
E
a
o
a
x
i 0 0
(a x a ) ( x a , x a )
思考：先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化 规律，再定量计算。 两极板之间：电势沿－x 方向均匀降低。 两极板外侧：电势为恒量。
自身的特性。
四. 电势
Wa Ua q0
零势点
E dl
a
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势 能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力 所做的功. 电势差：
U ab U a U b E dl
b a
静电场中 a 、b 两点的电势差等于将单位正电荷 由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功.
P
'
qr dr q 恒量 3 4 0 r 4 0 R R
P
E d r E d r 内 外 R
'
R
R
o P r P
q
E
均匀带电球面内电势与球面处 电势相等， 球面外电势与电量集中于球心 的点电荷情况相同.
试设想等势面形状 2R
电偶极子的电场线和等势面
作心电图时人体的 等势面分布
六. 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈1〉确定 E 分布
〈2〉选零势点和便于计算的积分路径 〈3〉由电势定义
零势点
Ua
注意：
a
零势点 E dl Ecos dl 计算 U a
a
• E 为所选积分路径上各点的总场强， 若路径上各段 E 的表达式不同，应分段积分。
E
o
E
0 qr 4 0 r 3
(r R) (r R )
E
r12
R
令 U 0 ，沿径向积分
o
r
U外
qr dr E 外dr 3 4 r 0 P r
1 4 0 r r
q
U内 E dr
U U U , Ey , Ez x y z U U U E ( i j k) x y z Ex
E
2.电场线与等势面的关系 等势面：电场中电势相等的点 的集合，两两相邻的等势面之 间的电势差相等。
+q
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向. 电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。 实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过 电场线与等势面的关系得出电场线分布。
注意： 1. U 为空间标量函数 2. U 具有相对意义，其值与零势点选取有关， 但 U ab 与零势点选取无关. 3.U 遵从叠加原理 （零势点相同） ：
U U i
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点产生的电势的代数和.
五.电场强度与电势的关系 1.由保守力与其相关势能的关系：
零势点
Ua
注意：
a
零势点 E dl Ecosdl
a
• 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
一般,场源电荷有限分布:选 场源电荷无限分布:不选 许多实际问题中选：
U 0
U 0
U 地球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
o
q
r
P
E
解： E
qr 40 r 3
U 0
沿径向积分
U
1 r
qr dr U E dl 3 4 r 0 P r
o
r
qdr q 2 4 0 r 4 0 r r
R） [例二] 均匀带电球面场中电势分布（ q ，
q
R
由高斯定理
P r
A
L
F dl q0 E dl 0
L
静电场中任意闭合路径 静电场环路定理： E dl 0
L
路径上各点的总场强 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了静电场 是保守力场. 凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能W
由
A保 E P W A静 电 力 q0 E dl ( Wb Wa ) Wa Wb
b a
零势点
令
Wb 0 Wa q0
E dl
a
得： q0 在场中某点的电势能等于将 q0 由该点沿任 意路径移到零势点过程中电场力做的功.
Wa : 静电场与场中电荷 q0 共同拥有.
Wa / q0 : 取决于电场分布、场点位置和零势点选取， 与场中检验电荷 q0 无关.可用以描述静电场
q0qdr q0q 1 1 A dA ( ) L ra 4 r 2 40 ra rb 0
rb
b
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关， 与所通过的路径无关. 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场.
二. 环路定理 由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关， 与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
?
第三篇 相互作用和场 第九章 电相互作用和静电场
第九章第三讲
本章共7讲
§ 8.4
一. 静电力的功
环路定理
电势
q0 r q dr dl r
rb
ra
a L
场源电荷： q
F
检验电荷：q0
F q0 E
q0qr dl q0qdr dA F dl 3 40 r 40 r 2
电荷无限分布，在有限远处选 零势点:令 ，沿 Uo 0 x 轴积 分.
Fra Baidu biblioteka
o
a
x
x a 区域：
a U E x dx E x dx 0 ( )a 0 0 x a
F q0 E W F W E ( ) U gradU q0 q0
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值。
即：E 的大小是 U 沿电场线方向的空间变化率 .
其指向是 U 降低最快的方向.
给出又一种求 的方法： E grad U
E
r12
R
o
U
q 4 0 R
r
1 r
o
R
r
[例三]无限大均匀带电平面 场中电势分布.
电场分布:
E
a
o
a
x
i 0 0
(a x a ) ( x a , x a )
思考：先由电场强度和电势的关系，定性分析电势变化 规律，再定量计算。 两极板之间：电势沿－x 方向均匀降低。 两极板外侧：电势为恒量。
自身的特性。
四. 电势
Wa Ua q0
零势点
E dl
a
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势 能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力 所做的功. 电势差：
U ab U a U b E dl
b a
静电场中 a 、b 两点的电势差等于将单位正电荷 由 a 沿任意路径移至 b 过程中静电力做的功.
P
'
qr dr q 恒量 3 4 0 r 4 0 R R
P
E d r E d r 内 外 R
'
R
R
o P r P
q
E
均匀带电球面内电势与球面处 电势相等， 球面外电势与电量集中于球心 的点电荷情况相同.
试设想等势面形状 2R
电偶极子的电场线和等势面
作心电图时人体的 等势面分布
六. 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈1〉确定 E 分布
〈2〉选零势点和便于计算的积分路径 〈3〉由电势定义
零势点
Ua
注意：
a
零势点 E dl Ecos dl 计算 U a
a
• E 为所选积分路径上各点的总场强， 若路径上各段 E 的表达式不同，应分段积分。
E
o
E
0 qr 4 0 r 3
(r R) (r R )
E
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R
令 U 0 ，沿径向积分
o
r
U外
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1 4 0 r r
q
U内 E dr
U U U , Ey , Ez x y z U U U E ( i j k) x y z Ex
E
2.电场线与等势面的关系 等势面：电场中电势相等的点 的集合，两两相邻的等势面之 间的电势差相等。
+q
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向. 电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。 实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通过 电场线与等势面的关系得出电场线分布。
注意： 1. U 为空间标量函数 2. U 具有相对意义，其值与零势点选取有关， 但 U ab 与零势点选取无关. 3.U 遵从叠加原理 （零势点相同） ：
U U i
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点产生的电势的代数和.
五.电场强度与电势的关系 1.由保守力与其相关势能的关系：
零势点
Ua
注意：
a
零势点 E dl Ecosdl
a
• 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
一般,场源电荷有限分布:选 场源电荷无限分布:不选 许多实际问题中选：
U 0
U 0
U 地球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
o
q
r
P
E
解： E