指数函数的图像

而 u ( x 2)2 9 在x [2 ， ） 上是减函数,
x 4 x 5 1 ） . ∴函数 y ( ) 的单调增区间是 [2 ， 2
复合函数的单调性：
u g ( x) y f (u ) y f [ g ( x)]
情况 1 情况 2 情况 3 情况 4 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增
2.1.2 指数函数及其性质（二）
复 习：
1. 定义: 函数
y a (a 0， 且a 1 )
x
叫指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2.指数函数 y a (a 0且a 1) 的图象和性质
x
y ( 1 )x 2
y ( 1 )x 3
y
8 7 6 5 4 3 2 1
情况1.已知复合函数 y=f[g(x)]，若u=g(x)在(a , b)上 是增函数，且 y=f(u) 在(g(a) , g(b))上是增函数， 求证：y=f[g(x)] 在(a , b)上是增函数. 证明： 设 a x1 x2 b , 则
由u=g(x)在(a , b)上是增函数， 得 g(a ) g( x1 ) g( x2 ) g(b) , 即 g(a) u1 u2 g(b) f (u1 ) f (u2 ) , 又 y=f(u) 在(g(a) , g(b))上是增函数，
例2.（教材P57例8）截止到1999年底，我国人口约13亿， 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20 年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 20 1.01 1.22 ） （参考数据： 解： 设今后人口年平均增长率为1%，经过年x后，
我国人口数为y亿. 1999年底我国人口约为13 亿； 经过1年 人口约为13(1+1%) 亿； 经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿；
x
例3.《乐学》P30例1
x 4 x 5 1 的单调增区间. 例4. 求函数 y ( ) 2
解： 原函数由 u x 2 4 x 5 和 y ( 1 ) u 复合而成 2
x 4 x 5 1 的单调增区间. 例4. 求函数 y ( ) 2
y ( 1 )u 在 R 上是 减函数, 2 x2 4 x 5 1 欲使 y ( ) 是增函 数， 2 2 只需 u x 4 x 5 是减函数.
, ( 2) . 3 1 2 0.2 0.2 3 5 （ ） ， 1.5 （ ） 3 2 , 1.3
0.7
1 3
又 1.30.7 1.30 1 .
0.2 0.7 2 故 ( ) 1.5 1.3 . 3 1 3
说 明：
利用指数函数性质比较幂的大小要注意三点：
或利用性质：底数 a 越大，函数图象在 y 轴右侧部分越远离 x 轴正 半轴 .
经过3年 …… 经过x年
人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿;
人口约为13(1+1%)x 亿.
当 x=20 时， y 13 1.0120 15.86 16. 答： 经过20年后，我国人口数最多为16亿.
【评析】通过本题学习，需理解并掌握两个问题： （ 1）指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率 (或平均增长率 )为 p ，经过 x 次增长后，该量增长到 y , 则： y N (1 p) .特别地，当 p 0 时为正增长，当
1 3
1 5

3 2

3 3 3 ,
1 3 1 5
1 3
2 5
3 2
即 3 9 (1)
3
3 2
.
(2) 1.5
(2)
0.2
2 x 函数 y ( ) 在 R 上是减函数 ， 3 1 1 ( 2 ) 3 ( 2 ) 5 ( 2 )0 1 . 又 1 1 0， 3 3 3 5 3
y 3x
y 2x
y 1.6 x
y 0.7
x
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
（5）当 x>0 时， y>1；
（5）当 x>0 时，0<y<1； 当 x<0 时，y>1.
当 x<0 时，0<y<1.
1 x （ 6） y= a 与 y= ( ) （ a 0且a 1 ）的图象关于 y 轴对称. a ( 7 ) 底数 a 越大，函数图象在 y 轴右侧部分越远离 x 轴正 半轴 . 即 y ( 1 )x y y 3x
f [ g( x1 )] f [ g( x2 )] ,
∴ y=f[g(x)] 在(a , b)上是增函数.
同理可证其它三种情况.
课堂练习《乐学》P30变式1、P31变式2
课后作业
1.教材60页习题2.1 B组 第1、3、4题
2.《乐学》2.1.3
x
当 a1>a2 , x>0 时，
x a1x a2 .
y ( 1 )x 2
3
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2x
y 0.7
y 1.6 x
x
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
思考 如图 B
1
例1．比较下列各题中两个值的大小：
1 1 0.2 0.7 2 )3 . (2) 1.5 , 1.3 , ( (1) 3 , 9 , ( ) ; 3 3 3 3 1 2 1 1 1 2 5 解：(1) 3 5 5 3 , 9 (3 ) 3 , ( ) 2 3 2 , 3 x 3 1 2 又 , y 3 是增函数 ， 3 5 2
x
p 0 时为负增长 .这一模型在实际生产、生活中很常见，
要高度重视！
Leabharlann Baidu
（2）指数型函数：像本题形如 y 131.01x 的形式的
x 函数 y ka （其中 k 0 ， a ＞0 且 a ≠1）的函数称为
指数型函数 .有时广义地称 y f (a ) （ a ＞0 且 a ≠1） 为指数型函数 .