理论力学第十章课件 动量定理

已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg， R＝ 100mm，OA杆的角速度为ω1=1 rad/s ，圆盘相对于 OA杆转动的角速度为ω2=4 rad/s ，OB=100 3 mm
求：此时圆盘的动量。
（注意：圆盘上C点相对于圆盘上B的角 速度要用绝对角速度）
2．冲量
常力的冲量 变力的元冲量
约束力.
解: 取电动机外壳和转子组成质点系，受力图如图．
p m2e px m2 e cost
p y m2 e sin t
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g
m2 g
得 Fx m2e 2 sin t
Fy (m1 m2 )g m2e 2 cost
得 Fx m2e 2 sin t Fy (m1 m2 )g m2e 2 cost
常量.
求:电机外壳的运动.
解:设
xC1 a
xC2
m1(a s) m2 (a e sin
m1 m2
s)
x 由 C1 xC2 ,
得 s m2 e sin
m1 m2
电机在水平面上往复运动
Fx m2e 2 sin t Fy (m1 m2 )g m2e 2 cost
图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三 棱柱B。两棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱A的质量
(e) x
p2y
p1y
I
(e) y
dp z dt
F (e) z
p2z
p1z
I
(e) z
3．质点系动量守恒定律
若
F
(e)
0,
则
p = 恒矢量
若
F (e) x
0,
则
px = 恒量
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳
的质量为 m2,转子质量为 m1.定子和机壳质心 O1 ,转子质
心O2 , O1O2 e ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光滑,已知 m1, m2 , ,初始静止,
mA 为三棱柱B质量 mB 的三倍，尺寸如图所示。
各处摩擦不计，初始静止。求当三棱柱B沿三棱柱A滑下接 触到水平面时，三棱柱A移动的距离。
解：当三棱柱B下滑到水平面时，假设三棱柱A向右移动了 xA 距离，则三棱柱B向右移动了 (xA a b) 距离。根据质心
位置守恒定理 mixCi 0 ，得
为 m1,滑块 B 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
ma
Cx
F (e) x
maCy
F (e) y
maCz
F (e) z
在自然轴上的投影式为:
m dvC dt
F (e) t
m vC2
F (e) n
0
F (e) b
质心运动守恒定律
若
F
(e)
0
则 vC 常矢量 质心作匀速直线运动
若开始时系统静止，即
则
常矢量，质心位置守恒。
v 若
F (e) x
0
则
Cx
在
t1~ t2 内,
p2
动量
p1
p1
n
i 1
~
Ii(
e
p2
)
有
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和.
动量定理微分形式的投影式
dp x dt
F (e) x
dp y dt
F (e) y
动量定理积分形式的投影式
p2x
p1x
I
在 t1～t2 内的冲量
I
Ft
dI
Fdt
I
t2
Fdt
变力在微小时间 内的冲量
t1
单位： N·s
☆冲量是矢量，表示力在其作用时间内对物体 作用的累积效应的度量．
§11-2 动量定理
1.质点的动量定理
m a
m
d v
F
dt
或
d(mv)
F
d(mdtv)
Fdt
称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量等于作
电机不转时, Fx 0,Fy (m1 m2 )g 称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
力. 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力
本题的附加动约束力为
x 方向: m2e 2 sin t y 方向: m2e 2 cos t
例10-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压 缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力.
把（1）式代入上式，得
mAar cos ( mA mB )aB (1 )
10-3 质心运动定理
1．质心
质点系的质量中心，质心的位置 反映质点系质量分布特征。
rC
m i ri , m
m m i
xC
mix m
i
,
yC
miy m
i
,
zC
mi m
z
i
质点系在力的作用下，其运动状态与质 点系质量分布状态有关。
用于质点上的力的元冲量.
在
t1~ t
mv2
2 内,
mv1
速 度t2由Fvd1t~vI2, t1
有
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力:
Fi
(e,)
内力:
内力性质: （1）
（2）
FFii((ii))
MO (Fi
第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量 §10-2 动量定理 §10-3 质心运动定理
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而 首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量 矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。
以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同 运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种 是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关 系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。 在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常 方便简捷 。
常矢量 ，质心沿x方向速度不变；
若存在 vcx 0 ，则 xC 常量 ，质心在X轴的位置坐标保持
不变。
质心在x轴的位置坐标保 持不变必满足
质心运动定理可求两类动力学问题：
已知质点系质心的运动，求作用于质点系的外力 （包括约束力）。 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
例10-5 已知:为常量,均质杆OA = AB = l ,两杆质量皆
miri
mimddrti
p
n
mi
vi
i 1
，m
d
miri
dt
mi
mdrc dt
mvc
即
p mvc
已知均质杆长为l, 质量为m，角速度为ω
p
mv c
1 2
ml
方向沿c方向
已知均质滚轮质量为m，轮心速度为c p mvc 方向沿c方向
已知均质轮质量为m，绕定轴转动，角 速度为ω
p mvc 0
为静约束力;
F
为附加动约束力
由于
P
Fa
Fb
F
0
得
F
qV
(vb
va
)
得
F
qV
(vb
va
)
q V
Aava
A b
vb
F
Abvb2
A a
va2
所以 ，流体对管壁的附加动作用力大小等于此附加动 约束力F″，但方向相反。
若等截面直角弯型管，当流体改变流动方向时，对管 壁施加的附加动约束力
Fx Av22 Fy Av12
0
(i)
)
0
质 点:
（3）
d(mivi )
FFii((ei))ddttF0i(i)dt
质点系:
d(mivi
)
Fi
(e)dt
Fi
(i
)
dt
得
dp
Fi
(e)dt
dIi(e)
或
dp dt
Fi
(e)
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
a
4
b
即三棱柱A向左移动了 ab 4 的距离。
例10-3如图所示，质量为mA的均质三棱柱A在重力作用下沿着 质量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为。 设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1)B的加速度；(2) 地面的约束力。
解：先对系统进行运动分析，建 立如图坐标， 设B的速度为vB，A相对B的速度
为vr，则 vA vB vr
本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动 量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量 定理的另一重要形式——质心运动定理。
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量
☆动量是瞬时矢量，是度量物体机械
运动m强v 弱程度的一个物理量．
单位
kg m / s
p
质点系的动量
质心
rc
mivi
vr dt
sin
)
FN
cos
mAg
mA( ar cos aB ) FN sin ( 2 ) mA( ar sin ) FN cos mg ( 3 )
mAar cos ( mA mB )aB (1 )
以整体为研究对象，dpy
dt
F(e) y
d(
mAvr dt
sin
)
FR
mAg
mB
g
mAar sin FR mAg mB g
]2 [
yc
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
xC
2( m1 2m1
m2 m2
)l
cos t
yC
m1 2m1
m2
l
sint
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
py mvCy myC m1l cos t
vAx vr cos vB vAy vr sin
系统受力如图，因
F (e) x
0
，且初始系统静止，所以
有
两边对t求导
mAar cos ( mA mB )aB (1 )
以A为研究对象，受力如图
dpx
dt
F(e) x
dpy dt
F(e) y
dmA(
vr
cos
dt
vB
)
FN
sin
dmA(
p解 :pd0t内ppa流b1bb11过截ppa面baa的1 (质pb量b1 及p动a1量b )变 (化p为a1b paa1 )
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
2.质心运动定理
由 得 或
mddmt d(admvCtCvC )ninFi1ni1F(Fe)ii((ee))
i 1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速
度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.
☆内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心 的运动. 但可以改变系统内各质点的运动。
在直角坐标轴上的投影式为:
系统动量的大小为:
p
p
2 x
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p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
动量方向为椭圆切线方向
例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用
以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活
塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .
在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用 在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .