第三章 非稳态导热

1 a
<5>
上式说明，当→≦时，→≦ → =X· →≦ 而实际上 要温差→≦是不可能的，故<6>式取正数不合实际，只能 取负数，且可写成如下形式：
d d
d2X dx 2
6 2 a Ae 若令上式等于某一正数2，式左侧积分后有：
1 X d2X dx 2

d d


且令此式 2
a 2
2 X
7
8
第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
2.解： ③解微分方程 式<7><8>的通解可分别写为： X=B· cos（x）+ C· sin（x） <10> 将<9><10>代入式<5>，即得微分方程<1>的通解为： a 2 B cos x C sin x x , Ae 11 利用式<3>即对称性边界条件有： a 2 B sinx C cosx |x0 0 x | x 0 Ae a 2 C 0 x | x 0 Ae 上式中：若A=0 → =0，若=0，则、X均等于一常数， 因此实际上两者均不可能等于0，故只有：C=0，将此结果 代入式<11>，且令D=A· B，则得符合对称性条件的通解为：
或写成： x , Dn e
n 1
n 1
n 2 a 2

cos n x

15
第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热 2.解： ③解微分方程
据初始条件，=0， =0，代入式<15>有： 将上式两边同乘 cos（mx/） 且在0≤x≤内积分有： 0 cos m x dx Dn cos n x cos m x dx 17
第一节
非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： 3>.墙内各处温度的变化：
由tf1/升至tf1//所需时间 tw1 ta tb tc tw2 tw1//
tw1
/
ta//
tb//
ta/
tb/ tc/
tw2/ 0
tc//
tw2//
a
b
c
0

第一节
非稳态导热的基本概念

a
2 x 2
1
2
| 0 0 t0 t f
x x 0
|
0
对称性
3 4
x | x h | x
第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
2.解： ③解微分方程（采用分离变量法）： 假定： （x，）=X（x）· （） 将<5>代入<1>并整理得：
①完整的数学描述
t
a
|
2t x 2
t | 0 t0
t x x 0
o

t x | x h t | x t f
0
对称性
第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
2.解： ②引入过余温度：（x，）=t（x，）-tf 上述微分方程则可改写成如下形式：

第二节
四、时间常数：
集中参数法
当采用集中参数法分析导热物体时，其过于温度随时间成 指数曲线变化，见图3-5.指数 cV hA 称为时间常数 c 。当 始过于温度值的36.8％。 热电偶测定流体温度时，其时间常数说明了热电偶对流体 温度变化响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反 映出流体温度的变动。
第一节 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本特点
①.
t 0 ，这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。
②.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位臵的导热 . 量是不同的。 t 2t 2t 2t ③.非稳态导热过程数学描写： ( )


二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： q B
q/
4>.墙内外表面热流密度的变化： a.内墙表面开始时，因温差大， q1呈直线上升（图中AB段）， 由于tw1先快后慢地上升，导致 q1—内墙吸热量 q1也先快后慢地下降，直至q// 不变，达到新的稳态阶段； // q C b.外墙表面开始因tw2未变，故先 保持不变（图中AD段），后来 由于tw2先快后慢地上升，导致 q2—外墙放热量 // q 也先快后慢地上升，直至 q 2 D A 不变，达到新的稳态阶段。 0 5>.图中阴影面积：墙体热力学能 0 的增加（蓄热）。
hV / A
hA cV


c
2 V A


hL

a 2 Bi Fo L
2 Bi hl Fo l 式中 为毕渥数， 称为傅里叶数，其中 特征长度为 l V A ,对平板取半厚，对圆柱和球体取半径。
第二节
集中参数法
故温度分布为： Fo 或： = exp（-Bi· =0e-Bi· Fo） 0
0 0.368，即物体的过于温度已经降低到初 0 时，
五、傅里叶数的物理意义：
傅里叶数的物理意义可以理解为两个时间间隔相除所得的 无量纲时间，表示非稳态过程进行的深度。
第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
1.已知：壁厚2，平壁的导热系数为，导温系数为，平 壁t|=0=t0，冷热流体温度为tf，两侧对流换热系数为h。 t =0 t=t0 1 2 tf -x - tf x 2.解：以平壁被冷却为例。
第二节
三、求解：
集中参数法
d
hA d cV 对方程进行分离变量有：
积分上式（由0积至，由0积至）得： hA 0 cV
ln


即：
hA t tf exp 0 t0 t f cV
①温度场：
指数
hA cV
0 e
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
指物体温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 1.举例说明其过程特点：以采暖设备给室内供热为例，分析 墙内各点温度及热流密度的变化情况。 1>.已知： a.墙外tf2始终保持不变； b.初始时刻，室内空气温度tf1/、墙体各点温度tw1/、ta/、 tb/、tc/、tw2/均稳定； c.供暖设备工作后，室内空气因热容小温度很快上升到 tf1//并保持稳定。 2>.问：墙内各点温度及热流密度如何变化？
第一节
非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
2.物体非稳态导热过程的温度分布可分为两种类型 ①非正规状况阶段：在初始阶段，物体内各点的温 度主要受初始温度的控制，随时间变化率是不一 样的，即各点的t/均不相同，且无规则； ②正规状况阶段：一定时间后，初始温度的影响逐 渐消失，物体的温度主要受热边界条件的影响， t/虽不一定相同，但有一定的规律可循。 一般，物体的整个非稳态导热过程主要处于正规状 况阶段，其温度分布是我们主要讨论内容。
第三章 非 稳 态 导 热
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 非稳态导热的基本概念 集中参数法 典型一维物体非稳态导热 半无限大物体非稳态导热 其它形状物体的瞬态导热
第一节
非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 周期性非稳态导热 非稳态导热 非周期性非稳态导热（又称为瞬态导热）

第三节
典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
2.解：③解微分方程 于是，在给定Bi条件下，将对应的1 、2、…、n代入式 <12>，即得一组温度分布： 1（x,）=D1cos（1x）exp（-12） 2（x,）=D2cos（2x）exp（-22） 14 …… …… …… n（x,）=Dncos（nx）exp（-n2） 注意：上式中D1、… Dn均为任意值，且上述特解仅满足边 界条件和对称性条件，不满足初始条件<2>式。 将式<14>进行叠加，即得 （x,）满足<1><3><4>的通解为： a n 2 x, Dn e cos n x
第二节
集中参数法
一、集中参数法的实质： 当Bi≤0.1时，可忽略物体内部导热热阻而认为其内部温度场 均匀一致，此时的温度为 t f 而与空间坐标无关。此简化
分析方法称为集中（总）参数法。因为物体的温度与空间坐标 无关，故集总参数法容易处理形状不规则的物体。
二、数学描写：
已知：任意形状物体，、c、、体积V，参加换热的全表面积 A，流体tf、h，初始时t|=0=t0，即0=t0-tf，且有Bi ≤ 0.1。 如下图： 据热平衡关系式（冷却时）： A 物体在单位时间放出的能量=对流换热量 V 即： -cVd/d=hA , c, t f 0 t0 t f 0 h tf
Ae
a 2
9
第三节
典型一维物体非稳态导热
百度文库一、无限大平板非稳态导热
2.解： ③解微分方程 a 2 x , De cos x 12 再用式<4>即边界条件来求待定数。将<12>代入<4>得： a 2 a 2 De sin h De cos 整理得： = h· ctg（ ） ctg 也可写成： h 上式中：为书写方便，令=，只要求出即可得，另上 式左侧的分母即为毕渥准则数 Bi=h/ 上式可写为： /Bi=ctg <13> 式<13>为一特征方程（超越方程），其解理论上有无穷多 个，如图3-4所示，为 y1= /Bi 与 y2=ctg 间的交点，其 具体数值如P57表3-1所示。于是也有无穷多个解1=1/、 2=2/、 3=3/、… n=n/ 即：=F（Bi）
第一节
非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： t
tf1// tw1// tf1/ tw1/
3>.墙内各处温度的变化： a.开始，因为tf1的上升→内墙表 面温度直线上升，靠近内墙的 a b c 墙体温度上升，而此时，a、b、 c及外墙在短促时间内可认为 // ta 不发生变化； // tb b.随着时间的推移，a、b、c处 tc// 的温度分别自a、b、c时刻后 // tw2 开始上升； ta/ t / / c.外墙tw2自0时刻后开始上升； b tc t / w2 tf2 d.当各点t上升至“//”状态后， 室内对内墙的对流换热量等于 外墙的换热量，即达到新的稳 x 态阶段。
x 2
y 2
z 2

c
t ( x , y, z,0) t 0
t h ( t w t f ) n w
数学上可以证明其解t=f(x,y,z，τ）是唯一的。
第一节
非稳态导热的基本概念
4、非稳态导热的三种情形
设一块厚2δ的金属平板，初始温度为 t 0 ，突然将它臵于温度为 t的 f 流体中冷却，表面换热系数为h，平板的导热系数为λ。根据平板的 导热热阻与表面对流换热热阻的相对大小，其温度分布有三种情形。 P116图3-4 ①1 即 h
②导热量： 导热物体在时刻的瞬时热流量为：
hA dt cV 0 hAexp cV d
物体自0时刻到时刻与流体交换的总热量为：
hA Q d 0 cV 1 exp cV 0
h


i


1h

见图3-4a，由于表面换热热阻可以忽略，一开始平板表面温度就被 冷却到 t f ， 随着时间的推移，平板内各点的温度逐渐下降而趋近 于 tf。 ②1 即 i h 0
h



见图3-4b，由于平板导热热阻可以忽略，任一时刻各点的温度一致， 即t=f(τ),并随时间的推移整体下降，逐渐趋近于 。 tf ③当两种热阻的数值比较接近，即Bi 为有限值时，其温度分布见图 3-4c。