函数解析的充要条件

ii) 验证C-R条件,
iii)求导数：
2. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i sin y)；(3)w z 2
解 (1) 设 z = x + iy w = x - iy u = x, v = - y 则
u 1 u 0
i i x x y y
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f(z) = u(x, y)+ iv(x, y)在D内有定义，则 f(z)在点z = x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点(x, y )可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y
分别为
k1 ux / uy k2 v x / v y
利用C-R方程 ux= vy, uy= -vx 有 k1k2= (-ux/uy)(-vx/vy) = -1，即：两族曲线互相正交.
ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交。
如果复变函数 w= f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在定义 域D内处处可导，则函数w = f (z) 在D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数u (x , y)及v (x , y)的可微性，探求 函数w = f (z) 的可微性，从而导出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
故 f (z) ex (cos y i sin y)在全平面可导，解析。
且 f '(z) u i v ex cos y iex sin y f (z) x x
解(3) 设z = x + iy w = x2+ y2 u = x2 + y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
lim [u(x, y y) iv(x, y y)] [u(x, y) iv(x, y)]
y0
iy
lim u(x, y y) u(x, y) i lim v(x, y y) v(x, y)
y0
iy
y0
iy
1 u v v i u i y y y y
f '(z) u v v u
(1) w=f(z)在D内解析 在D内可导。 (2) w=f(z)在z0点解析与在z0点可导不等价。 函数f (z)在z0 点可导，未必在z0点解析。
z0
z
[u(x x, y) iv(x x, y)] [u(x, y) iv(x, y)]
lim
x0
x
u(x x, y) u(x, y)
v(x x, y) v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
x v 0
y v 1
u v x y
x
y
w z 在全平面不可导，不解析。
解 (2) ∵ f (z) = ex(cosy +isiny) 则 u = excosy, v = exsiny
u ex cos y x v ex sin y x
u ex sin y y v ex cos y y
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2仅在0点可导，但处处不解析。
例2 求证函数
ห้องสมุดไป่ตู้
w
u( x,
y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
在z x iy 0处解析，并求dw . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
u x
例3 若f '(z) 0 z D f (z) C z D
证明 1
f '(z) ux ivx i uy v y v y iuy 0 ux vx uy vy 0
u C1 v C2 f (z) C1 iC2 C(复常数）
例4 如果 f (z) = u(x, y)+i v(x, y) 是一解析函数，
且 f (z)≠0，那么曲线族 u(x, y)= C1， v(x, y) = C2 必互相正交，这里C1 、 C2常数.
证 f '(z) 1 u v 0 u 与 v 不全为0
i y y
y y
那么在曲线的交点处：
i) uy、 vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y) = C1，v(x, y) = C2 中任一条曲 线的斜率
上述条件满足时,有
定理2 函数f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在D内解析充要条件 是u(x, y)和v(x, y)在D内可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y 定理提供了判别函数解析性的方法及如何
求f (z)的导数值. 使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)偏导数的连续性，
1. 函数解析的充要条件
设w f (z) u(x, y) iv(x, y)在点 z x iy可导
又 f (z z) f (z) z
[u( x x, y y) iv( x x, y y)] [u( x, y) iv( x, y)] x iy
f (z) lim f (z z) f (z)
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
u y
v x
2xy ( x2 y2 )2
故函数w = f (z) 在z≠0处解析，其导数为
dw u i v dz x x
y2 x2 (x2 y2 )2
i
2xy (x2 y2 )2
(
(x x2
iy)2 y 2 )2
(
z2 zz )
2
1 z2