孙训方材料力学05梁弯曲时的位移
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w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
材 料 力 学
F q
A C a a B
例：按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 解: （a）荷载分解 （b）查附录Ⅳ
EIw
ql q x x2 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
材 料 力 学
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6 A ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
q B x l
边界条件：x=0 、 x=l时 w 0
ql 3 得： C , 24 D0
FRA
FRB
梁的转角方程和挠曲线方程为
q
q ( l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
qx w ( l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI
材 料 力 学
q
q ( l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小可以忽略不计，故上式近似为
M ( x) w" EI
梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2 项; （3）
q tanq w w( x )
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
q max
wmax
Fl 2 Fl 2 Fl 2 q |xl EI 2 EI 2 EI
Fl 3 w |xl 3 EI
（ ）
（
）
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方
程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
F x
l
y
22
材 料 力 学
A a l D b B
材 料 力 学
解: 梁的两个支反力为
FRA b F l
x
FRB
a F l
F
A
1 a x l D b 2 B
将梁分成两段研究 两段梁的弯矩方程为
b M1 FRA x F x l
FRA
FRB
(0 x a ) (a x l )
b M2 F x F ( x a) l
材 料 力 学
w' 0 时：简支梁的挠度最大
AD段：由
F
A 1 a l
w1 0
D
b
2
B
Fb 2 2 ( l b 3 x 2 ) 0 FRA q 1 w 1' 6lEI
FRB
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
当 a > b时：x1 < a ，最大挠度发生在第一段梁上。
材 料 力 学
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）当0 x a 挠曲线微分方程
b F x EIw 1 M 1 l
A
a l
F
D b B
转角方程 挠度方程
b x2 F EIw1 C1 l 2
b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
材 料 力 学
F
A
D a l b B
（b）当 a x l
挠曲线微分方程
b EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
2 2 b F ( x a ) x F C2 EIw 2 l 2 2
转角方程 挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M k EI 1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数。略去剪力的影响, 则
1 M ( x) ( x) EI
k
11
材 料 力 学
2、由数学知识得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
| w | (1 w )
— 边界条件
荷载不连续,弯矩方程需分段写出，各段梁的挠曲线近似
微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，
都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用 支座处的约束条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件。这两类条件统称为边界条件。
材 料 力 学
例5-3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中力F 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度 和最大转角。 F
材 料 力 学
材 料 力 学
引 言
材 料 力 学
材 料 力 学
材 料 力 学
车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以减小车 辆受到的冲击和振动作用。
F 2
F 2
F
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
材 料 力 学
例5-1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁， 在自由端受一集中力
F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 q max 。
F A B x
l
y
材 料 力 学
解：(1)弯矩方程为
M ( x ) F (l x ) (1)
A
F x B x
(2)挠曲线的近似微分方程为
Fbl 2 w max y |x x1 0.0642 EI
结论： 简支梁无论受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点， 其最 大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精度是能满足 工程要求的。
材 料 力 学
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？ 优点： 得到挠度方程w(x)和转角方程q(x) 。
因而可求出任意截面的挠度和转角。
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
y
l
对微分方程(2)式进行积分
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 (4) 2 6
2
3
材 料 力 学
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 (4) 2 6
缺点：
繁、荷载复杂时分段多，因而积分常数多。
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加原理 梁的变形微小、且在线弹性范围内工作时： 梁在几项荷载(集中力、 力矩、分布力)同时作用下的挠度
和转角=每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠
加。—叠加原理。
q ( F1 , F2 , , Fn ) q1 ( F1 ) q 2 ( F2 ) q n ( Fn )
2 3 2
M ( x) EI
材 料 力 学
在规定的坐标系中： x 轴水平向右为正，
o
x
y 轴竖直向下为正。
曲线上凸时:
w 0 M 0
y
w 0
M 0
o
x
曲线下凸时:
w 0 M 0
M 0
y
因此，w 与M的正负号不同
w 0
材 料 力 学
w (1 w )
2
3
边界条件
x 0, x 0,
w0 w 0
C2 0
将边界条件代入(3)、(4)两式中，得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w EI 2 EI
w Flx Fx 2 EI 6 EI
2
3
材 料 力 学
y A
F
B x
wmax
l
q max
q max 和wmax都发生在自由端截面处
材 料 力 学
左右两支座处截面的转角
F
A 1 a l D b 2 B
q A q 1 | x 0
Fab( l b ) 6lEI
Fab( l a ) q B q 2 | x l 6lEI
FRA
FRB
当 a > b 时，右支座处截面的转角绝对值最大
q max
Fab( l a ) qB 6lEI
q
F
C
Bx
w y
C1
转角方程
q tan q w ' w '( x )
9
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A
q
F
C
Bx
w y
C1
挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负； 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
10
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
例5-2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁，在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确 定其wmax和 q max 。
q
A B
l
材 料 力 学 q
解：梁的两个支反力为
A x
B
FRA FRB
ql 2
FRA
l
FRB
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程为
M ( x)
ql q x x2 2 2
材 料 力 学
D点的连续条件
x = a：
w1 w2 w2 w1
A
1 a l
F
D b 2 B
支座处约束条件 x=0： x=l：
w1 0 w2 0
FRA
FRB
代入方程解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
材 料 力 学
（a）当 0 x a
wmax w
x x1
Fb (l 2 b 2 )3 9 3lEI
wmax w
x x1
F靠近支座B时：
Fbl 2 Fbl 2 0.0642 EI 9 3EI
材 料 力 学
F
A
1 D 2 b l B
F靠近支座B时，跨中C 点的挠度：
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C
FRA
a
FRB
2 Fb Fbl wC (3l 2 4b 2 ) 0.0625 48 EI EI
q A x
wmax B
qx w ( l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度为
qA
l
qB
FRA
FRB
x=0 、 x=l 时：转角的绝对值相等且是最大值
q max
ql 3 q A q B 24 EI
x=l/2即在梁跨中处：有最大挠度值
wmax w
l 2
x
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w
M ( x) EI
若为等截面直梁，其抗弯刚度EI为常量，上式可写成
EIw M ( x )
15
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
F
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时， 1、积分一次得转角方程
q
q0
EIw M ( x )d x C1
*§ 5 - 4
奇异函数·梁挠曲线的初参数方程
§5-5 梁的刚度校核· 提高梁的刚度的措施 §5-6 梁内的弯曲应变能
6
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度及转角
q
A
F
C
Bx
w y
C1
挠度 — 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的
线位移称为该截面的挠度，用w表示。
q0
2、积分二次得挠度方程
EIw [ M ( x )dx ]dx C1 x C 2
Me
16
材 料 力 学
积分常数的确定
— 边界条件
wA 0
A
wB 0
B
边界条件：简支梁中，左右两支座处的挠度 wA=0；wB=0
wA 0
A B
qA 0
边界条件：悬臂梁中，固定端处的挠度和转角 wA=0，θA=0
5ql 4 384 EI
材 料 力 学
思考：判断正误
二梁的材料、轴向与截面形状尺寸均相同。如果在外 载荷作用下具有相同的弯距方程 M x ，则此二梁的弯曲 变形和位移完全相同。 （ ）
答案：
材 料 力 学
荷载不连续时，积分常数的确定
Fb 2 2 (l b 3 x 2) q 1 w1 6lEI Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
F
A 1 a l D b 2 B
FRA
FRB
（b）当 a x l
Fb l 1 2 2 2 2 [ ( x a ) x ( l b )] q 2 w 2' 2lEI b 3 Fb l 3 [ x 3 (l 2 b2) x ] ( x a ) w2 6lEI b
横截面的转角 — 横截面对其原来位置的角位移称为该截 面的转角，用q 表示。
7
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A
F
C
Bx
w y
C1
挠曲线
挠曲线 — 梁变形后的轴线
挠曲线方程为
w f ( x)
x —梁变形前轴线上任一点的横坐标；w —该点的挠度。
8
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A
材 料 力 学
F q
A C a a B
例：按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 解: （a）荷载分解 （b）查附录Ⅳ
EIw
ql q x x2 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
材 料 力 学
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6 A ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
q B x l
边界条件：x=0 、 x=l时 w 0
ql 3 得： C , 24 D0
FRA
FRB
梁的转角方程和挠曲线方程为
q
q ( l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
qx w ( l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI
材 料 力 学
q
q ( l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小可以忽略不计，故上式近似为
M ( x) w" EI
梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2 项; （3）
q tanq w w( x )
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
q max
wmax
Fl 2 Fl 2 Fl 2 q |xl EI 2 EI 2 EI
Fl 3 w |xl 3 EI
（ ）
（
）
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方
程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
F x
l
y
22
材 料 力 学
A a l D b B
材 料 力 学
解: 梁的两个支反力为
FRA b F l
x
FRB
a F l
F
A
1 a x l D b 2 B
将梁分成两段研究 两段梁的弯矩方程为
b M1 FRA x F x l
FRA
FRB
(0 x a ) (a x l )
b M2 F x F ( x a) l
材 料 力 学
w' 0 时：简支梁的挠度最大
AD段：由
F
A 1 a l
w1 0
D
b
2
B
Fb 2 2 ( l b 3 x 2 ) 0 FRA q 1 w 1' 6lEI
FRB
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
当 a > b时：x1 < a ，最大挠度发生在第一段梁上。
材 料 力 学
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）当0 x a 挠曲线微分方程
b F x EIw 1 M 1 l
A
a l
F
D b B
转角方程 挠度方程
b x2 F EIw1 C1 l 2
b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
材 料 力 学
F
A
D a l b B
（b）当 a x l
挠曲线微分方程
b EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
2 2 b F ( x a ) x F C2 EIw 2 l 2 2
转角方程 挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M k EI 1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数。略去剪力的影响, 则
1 M ( x) ( x) EI
k
11
材 料 力 学
2、由数学知识得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
| w | (1 w )
— 边界条件
荷载不连续,弯矩方程需分段写出，各段梁的挠曲线近似
微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，
都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用 支座处的约束条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件。这两类条件统称为边界条件。
材 料 力 学
例5-3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中力F 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度 和最大转角。 F
材 料 力 学
材 料 力 学
引 言
材 料 力 学
材 料 力 学
材 料 力 学
车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以减小车 辆受到的冲击和振动作用。
F 2
F 2
F
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
材 料 力 学
例5-1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁， 在自由端受一集中力
F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 q max 。
F A B x
l
y
材 料 力 学
解：(1)弯矩方程为
M ( x ) F (l x ) (1)
A
F x B x
(2)挠曲线的近似微分方程为
Fbl 2 w max y |x x1 0.0642 EI
结论： 简支梁无论受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点， 其最 大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精度是能满足 工程要求的。
材 料 力 学
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？ 优点： 得到挠度方程w(x)和转角方程q(x) 。
因而可求出任意截面的挠度和转角。
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
y
l
对微分方程(2)式进行积分
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 (4) 2 6
2
3
材 料 力 学
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 (4) 2 6
缺点：
繁、荷载复杂时分段多，因而积分常数多。
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加原理 梁的变形微小、且在线弹性范围内工作时： 梁在几项荷载(集中力、 力矩、分布力)同时作用下的挠度
和转角=每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠
加。—叠加原理。
q ( F1 , F2 , , Fn ) q1 ( F1 ) q 2 ( F2 ) q n ( Fn )
2 3 2
M ( x) EI
材 料 力 学
在规定的坐标系中： x 轴水平向右为正，
o
x
y 轴竖直向下为正。
曲线上凸时:
w 0 M 0
y
w 0
M 0
o
x
曲线下凸时:
w 0 M 0
M 0
y
因此，w 与M的正负号不同
w 0
材 料 力 学
w (1 w )
2
3
边界条件
x 0, x 0,
w0 w 0
C2 0
将边界条件代入(3)、(4)两式中，得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w EI 2 EI
w Flx Fx 2 EI 6 EI
2
3
材 料 力 学
y A
F
B x
wmax
l
q max
q max 和wmax都发生在自由端截面处
材 料 力 学
左右两支座处截面的转角
F
A 1 a l D b 2 B
q A q 1 | x 0
Fab( l b ) 6lEI
Fab( l a ) q B q 2 | x l 6lEI
FRA
FRB
当 a > b 时，右支座处截面的转角绝对值最大
q max
Fab( l a ) qB 6lEI
q
F
C
Bx
w y
C1
转角方程
q tan q w ' w '( x )
9
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A
q
F
C
Bx
w y
C1
挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负； 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
10
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
例5-2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁，在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确 定其wmax和 q max 。
q
A B
l
材 料 力 学 q
解：梁的两个支反力为
A x
B
FRA FRB
ql 2
FRA
l
FRB
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程为
M ( x)
ql q x x2 2 2
材 料 力 学
D点的连续条件
x = a：
w1 w2 w2 w1
A
1 a l
F
D b 2 B
支座处约束条件 x=0： x=l：
w1 0 w2 0
FRA
FRB
代入方程解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
材 料 力 学
（a）当 0 x a
wmax w
x x1
Fb (l 2 b 2 )3 9 3lEI
wmax w
x x1
F靠近支座B时：
Fbl 2 Fbl 2 0.0642 EI 9 3EI
材 料 力 学
F
A
1 D 2 b l B
F靠近支座B时，跨中C 点的挠度：
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C
FRA
a
FRB
2 Fb Fbl wC (3l 2 4b 2 ) 0.0625 48 EI EI
q A x
wmax B
qx w ( l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度为
qA
l
qB
FRA
FRB
x=0 、 x=l 时：转角的绝对值相等且是最大值
q max
ql 3 q A q B 24 EI
x=l/2即在梁跨中处：有最大挠度值
wmax w
l 2
x
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w
M ( x) EI
若为等截面直梁，其抗弯刚度EI为常量，上式可写成
EIw M ( x )
15
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
F
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时， 1、积分一次得转角方程
q
q0
EIw M ( x )d x C1
*§ 5 - 4
奇异函数·梁挠曲线的初参数方程
§5-5 梁的刚度校核· 提高梁的刚度的措施 §5-6 梁内的弯曲应变能
6
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度及转角
q
A
F
C
Bx
w y
C1
挠度 — 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的
线位移称为该截面的挠度，用w表示。
q0
2、积分二次得挠度方程
EIw [ M ( x )dx ]dx C1 x C 2
Me
16
材 料 力 学
积分常数的确定
— 边界条件
wA 0
A
wB 0
B
边界条件：简支梁中，左右两支座处的挠度 wA=0；wB=0
wA 0
A B
qA 0
边界条件：悬臂梁中，固定端处的挠度和转角 wA=0，θA=0
5ql 4 384 EI
材 料 力 学
思考：判断正误
二梁的材料、轴向与截面形状尺寸均相同。如果在外 载荷作用下具有相同的弯距方程 M x ，则此二梁的弯曲 变形和位移完全相同。 （ ）
答案：
材 料 力 学
荷载不连续时，积分常数的确定
Fb 2 2 (l b 3 x 2) q 1 w1 6lEI Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
F
A 1 a l D b 2 B
FRA
FRB
（b）当 a x l
Fb l 1 2 2 2 2 [ ( x a ) x ( l b )] q 2 w 2' 2lEI b 3 Fb l 3 [ x 3 (l 2 b2) x ] ( x a ) w2 6lEI b
横截面的转角 — 横截面对其原来位置的角位移称为该截 面的转角，用q 表示。
7
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A
F
C
Bx
w y
C1
挠曲线
挠曲线 — 梁变形后的轴线
挠曲线方程为
w f ( x)
x —梁变形前轴线上任一点的横坐标；w —该点的挠度。
8
材 料 力 学
第五章 梁弯曲时的位移
A