第六章定积分的应用

第六章 定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点：

1、 截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6 1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设y f (x )0 (x [a b ]) 如果说积分 ⎰=b

a dx

x f A )(

是以[a b ]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

⎰=x

a dt

t f x A )()(

就是以[a x ]为底的曲边梯形的面积 而微分dA (x )f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f (x )dx f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式 以 [a b ]为积分区间的定积分

⎰=b

a dx

x f A )(

一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b ]上 分布在[a x ]上的量用函数U (x )表示 再求这一量的元素dU (x ) 设dU (x )u (x )dx 然后以u (x )dx 为被积表达式 以[a b ]为积分区间求定积分即得

⎰=b

a dx

x f U )(

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

§6 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积 1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )与y f 下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成

则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为 dx

x f x f S b

a ⎰-=)]()([下上 类似地由左右两条曲线x 左

(y )与x

右

(y )及上下两条直线y d 与y c 所围

成设平面图形的面积为

⎰-=d

c dy

y y S )]()([左右ϕϕ

例1 计算抛物线y 2x 、y x 2

所围成的图形的面积

解 (1)画图

(2)确定在x 轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线2

)( ,)(x x f x x f ==下上

(4)计算积分

31]3132[)(10323

1

02

=-=-=⎰x x dx x x S 例2 计算抛物线y 2

2x 与直线y x 4所围成的图形的面积

解 (1)画图

(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4]

(3)确定左右曲线4

)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ

(4)计算积分

⎰--+=4

22)214(dy y y S 18]61421[4

232=-+=-y y y

例3 求椭圆122

2

2=+b y a x 所围成的图形的面积

解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx 所以

⎰=a

ydx

S 04

椭圆的参数方程为:

x a cos t y b sin t

于是

⎰=a

ydx S 04⎰=0

2)

cos (sin 4πt a td b

⎰-=0

22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2π

dt t ab π

πab ab =⋅=22

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为

θ

θϕd dS 2)]([21= 曲边扇形的面积为

⎰=β

αθ

θϕd S 2)]([21

例4. 计算阿基米德螺线a (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

解: ⎰=πθθ202)(21d a S 3220

3234]31[21πθπa a ==

例5. 计算心形线a (1cos ) (a >0) 所围成的图形的面积

解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=π

θ

θθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ2

0223]2sin 41sin 223[a a =++=

二、体 积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋

转轴

常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线y f (x )、直线x a 、a b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体 设过区间[a b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ) 当平面左

右平移dx 后 体积的增量近似为V [f (x )]2

dx 于是体积元素为

dV [f (x )]2

dx 旋转体的体积为

dx

x f V b

a 2)]([π⎰=

例1 连接坐标原点O 及点P (h r )的直线、直线x h 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解: 直角三角形斜边的直线方程为x

h r y =

所求圆锥体的体积为

dx x h r V h

20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=2

31hr π=

例2

计算由椭圆122

2

2=+b y a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体

积

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

2

2x a a b y -=

及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体 体积元素为 dV y 2dx

于是所求旋转椭球体的体积为

⎰--=a

a dx x a a

b V )(2222πa a x x a a b --=]31[3222π234ab π=

例3 计算由摆线x a (t sin t ) y a (1cos t )的一拱 直线y 0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积 解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为

⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=π

π2022)cos 1()cos 1(dt

t a t a

⎰

-+-=π

π20

323)cos cos 3cos 31(dt t t t a

5

2a

3

所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为

x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ) 则

⎰⎰-=a

a

y dy

y x dy y x V 202

12022)()(ππ

⎰⎰⋅--⋅-=π

π

πππ022222sin )sin (sin )sin (tdt

a t t a tdt a t t a

⎰

--=

π

π20

23sin )sin (tdt

t t a 6 3a 3

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x 轴的投影区间为[a b ] 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截 截面面积为A (x ) 则体积元素为A (x )dx 立体的体积为

dx

x A V b

a )(⎰=

例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角

计算这平面截