双曲线的几何性质课件-优秀公开课(比赛课)

N (x,Y) Y Q M （x,y)
b MN Y y x x a a
2
2

O

ab x2 x2 a2
X
b MQ 是点M 到直线y = 的距离，且 MQ < MN 。 a 当x逐渐增大时， MN 逐渐减小，x无限增大， MN 接近于0， MQ 也接近于0
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 例如：画双曲线
y
y2 x2 =1 16 9 y
4
图形
F1
3-4 -3
o
4
F2
x
I
-
-3
o -4
I
3
x
范围 对称性 顶点 实轴、虚轴长 离心 率 渐近
x a, x a, y R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
y a , y a , x R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
4,0, 4,0
双曲线上的点向外延伸时，与这两条渐 近线逐渐接近。 渐近线的斜率的绝对值越大时，曲线的 开口越大，反之亦然。
4、渐近线 2
x
B1
b y x a
b y x a
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与 直线逐渐靠拢。 方案1：考查点到直线的距离
MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离
由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可。
o
x
范围
x a, x a, y R
关于x轴、y轴对称，原点对称
y b, y b, x R
关于x轴、y轴对称，原点对称
对称性
顶点 离心率 渐近线
a,0, a,0
c e ,e 1 a
e越大，开口越大
0,b, 0, b
c e ,e 1 a
e越大，开口越大

y
双曲线的范围是在不 等式 x a 、x a 的平面区域内
-a
o a

x
2、对称性
关于x轴、y轴和原点对称.
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
（以焦点在 x轴上的方程进行研究）
用 y 代替 y ，方程 不变，即曲线关于 x 对称。 用 x 代替 x ，方程 不变，即曲线关于 y 对称。
y2 x2 ( 2). 1 36 28
(3).y x 3
- b , 0, b 不是双曲线的顶点。 以 0，
y
A1 A2叫实轴，长为 2a B1 B2叫虚轴，长为 2b
实轴与虚轴等长的双曲线 叫 等轴双曲线.
x 2 y 2 m(m 0)
A1 -a
b
B2
o a A2 x
-b B 1
Hale Waihona Puke Baidu
x y2 b ⑴双曲线 2 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线为 y x a a b y 思考：渐近线是双曲线特有的几何质， b B2 它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近 线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系 呢？。 A1 A2 o a 渐近线的演示
设M ( x, y )是它上面的点, b 2 则y = x - a 2 ( x > a) a b N ( x，Y )是直线y = x a 上与有相同横坐标的点， b 则Y = x a
2
MN
y
Q B2
N
M
A1
O
b a
B1
A2
x
x y - 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
2
b 2 b a 2 b 2 y= x - a = x 1- ( ) < x = Y a a x a
5 e= 4 3 y x 4
0,4, 0,4
实轴长为8、虚轴长为6
实轴长为8、虚轴长为6
e=
5 4
y
4 3
尝试练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(3)双曲线的渐近线为 y x，且过点（ 1 ， 2）
解： 2 x y2 (1). 1 16 9
5 (1)顶点在 x轴上，两顶点的距离是 8，且离心率 e 4 4 (2)焦点在 y轴上，焦距是 16，离心率 e 3
椭圆的简单几何性质：
性质 曲线
椭圆
x2 y2 2 1(a b 0 ) 2 a b
Y
a
方程 图形 范围 对称性 顶点
F1 O F2 X
a xa b yb 关于 x 轴和 y 轴对称，关于原点对称 (a,0), (a,0), (0,b), (0, b)
c e (0 e 1) a
e越大，椭圆越扁
离心率
e越小，椭圆越圆
x2 y2 研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质 a b
1、范围 x a, x a
y R
2
x y 由双曲线的标准方程得 1 1 a b
2 2 2
x2 2 2 ≥ 1, 即 x ≥ a 2 a x ≥ a, x ≤ a
x2 y2 =1 9 16
的草图
y
4·
-3
·
O -4·
·
3
x
c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ,叫做双曲线的离心率. a
5、离心率
⑵ e 的范围:
e >1
思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？ 用代数方法证明
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a
b y x， a a
e越小，开口越小 b 越大，开口越大
e越小，开口越小
a y x ，b 越大，开口越大 b 越小，开口越小 a 越小，开口越小
试写出双曲线 9 x 16 y 144 与 9 y 16 x 144 的几何性质
2 2 2 2
标准方程
x2 y2 =1 16 9
y ，方程不变，即 y 代替 x 、 同时用 x 、 曲线关于 原点 对称。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
3、顶点
- a ,0, a ,0
双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
当 y 0 时 ,则 x a所以 - a ,0 , a ,0是双曲 线的两个顶点 2 2 y b 当 x 0 时 ,则 于是与 y 轴无交点,所
b 当 e 越大时， a 也越大，所以曲线的开口
演示板
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
越大，反之也成立。
根据对双曲线性质的研究，请完成下表
标准方程
x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) a 2 b2
y
y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2
y
图形
F1 o F2 x