3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律

§3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律

一. 力学量的平均值随时间的变化关系

力学量A 在ψ(x ,t)中的平均值为:

*ˆ()(,)(,)A t x t A

x t dx ψψ=⎰ (3。8.1) 因为ψ是时间的函数Â也可能显含时间，所以Ā通常是时间t 的函数。为了求出Ā随时间的变化，(1)式两边对t 求导

dA dt =***ˆˆˆA dx A dx A dx t t t

ψψψψψψ∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ (3.8.2) 由薛定谔方程ψψH t i ˆ=∂∂ ，⇒ ψψH i t ˆ1

=∂∂ **)ˆ(1ψψH i t

-=∂∂∴ ***ˆ11ˆˆˆˆ()()dA A dx H A dx A H dx dt t i i ψψψψψψ∂∴=-+∂⎰⎰⎰

(3.8.3) *

**ˆ1ˆˆˆˆ[]A dx AH dx HA dx t i ψψψψψψ∂=+-∂⎰⎰⎰ 因为Ĥ是厄密算符*

*ˆ1ˆˆˆˆ()A dx AH HA dx t i ψψψψ∂=+-∂⎰⎰ ˆ1ˆˆ[,]dA A A H dt t i ∂∴=+∂

(3.8.6) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。

若Â不显含t ，即ˆ0A t

∂=∂，则有 1ˆˆ[,]dA A H dt i =

(4) 如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则由上式有

0d A dt

= (5) 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。

证明：在任意态ψ下A 的概率分布也不随时间改变。

概括起来讲，对于Hamilton 量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量A 与Ĥ对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所

以把A 称为量子体系的一个守恒量。即A 的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A 为运动恒量或守恒量。

守恒量有两个特点：

(1). 在任何态ψ(t )之下的平均值都不随时间改变；

(2). 在任意态ψ(t )下A 的概率分布不随时间改变。

、举例

1、自由粒子动量守恒 自由粒子的哈密顿算符μ

2ˆ2p H =， 0]ˆ,ˆ[1==H p i dt p d

所以自由粒子的动量是守恒量。

2、 粒子在中心力场中运动：角动量守恒

2

2222ˆˆ()()22l H r V r mr r r mr ∂∂=-++∂∂ 222ˆˆ()22r p l V r m mr =++ 2ˆˆˆˆ,,,x y z l l l l 皆不显含时间，

又2ˆˆ[,]0H l = ，ˆˆ[,]0H l α

= ),,(z y x =α 所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量

2ˆˆˆˆ(,,,)x y z l l l l 都是守恒量。 3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒 L ˆ

[]

0ˆ,ˆ1==H H i dt H d

量子力学中的能量守恒定律。 4.哈密顿对空间反演时的宇称 把一个函数的所有坐标宗量变号)(x x -→的运算称为空间反演。以算符P

ˆ表示 )(),(ˆx t x P

-=ψψ，我们称P ˆ为宇称算符。 （3.8.14） ()t x t x P t x P

,),(ˆ),(ˆ2ψψψ=-= 2ˆP

的本征值是1，P ˆ的本征值是1±。 5.2.2量子力学中的守恒量与经典力学中守恒量的区别

应当强调，量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不尽相同。这实质上是不

确定度关系的反映。

1．量子体系的守恒量并不一定取确定值

即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t 是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t =0)，守恒量A 具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A 并不具有确定值（这与经典力学不同），即ψ(0)并非Â的本征态，则以后的状态也不是Â的本征态，即A 也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。

2. 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。

例如中心力场中的粒子，l 的三个分量都守性，但由于ˆˆˆ,,x y z

l l l 不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l =0的态除外）

3.守恒量与定态异同

1）概念不一样。

定态是能量取确定值的状态；守恒量是特殊的力学量，要满足一定的条件。

2）性质不一样。

在定态下，一切不含时间的力学量，不管是不是守恒量，其平均值，测量值概率分布都不随时间改变。 守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值，测量值概率分布都不随时间改变。

5.2.3 能级简并与守恒量的关系——守恒量在能量本征值问题中的应用

1.定理：如果体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即

[][][]0,,0,,0,≠==G F H G H F 但，则体系的能级一般是简并的。

证明：因为[]

0,=H F ，F 和H 可有共同的本征态ψ，所以 ψψψψ/,F F E H == (5-15)

又因为

[]0,=H G ，所以有

ψ

ψψG E H G G H == (5-16)

即ψG 也是H 的属于同一本征值E 的本征态。但由于[]

0,≠G F ,ψ与ψG 一般不是同一本征态。因为 ψψψG F F G G F /=≠ (5-17)

即ψG 不是F 的本征态，但ψ是F 的本征态，故ψ与ψG 是不同的量子态。但它们是H 的同一能级的态，故能级简并。