圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法

.遇到弦时（解决有关弦的问题时）

1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例：如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC= BD 证明：过0作0吐AB于E

•/ 0为圆心，0E± AB

••• AE = BE CE = DE

••• AC = BD

练习：如图，AB为O 0的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O 0的半径.

2

2. 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角

例：如图，已知AB 是O 0的直径，MN 分别是 A0B0的中点，CMLAB,DN1 AB,求证： A C B D 证明：（一）连结0C 0D

•/ M N 分别是A0 B0的中点

1

1 • 0M = A0 0N = B0

2

2

•/ 0A = 0B • 0M = 0N •/ CML 0A DNL 0B 0C = 0D

• Rt △ C0I W Rt △ D0N

•••/ C0A = / D0B • A C B D （二）连结 AC 0C 0D BD

•/ M N 分别是A0 B0的中点 • AC = 0C BD = 0D

•/ 0C = 0D • AC = BD • A C ?D 3. 有弦中点时常连弦心距

例：如图，已知 M N 分别是O O 的弦AB CD 的中点,AB = CD ，求证：/ AMN = / CNM 证明：

连结OM ON

•/ O 为圆心，M N 分别是弦AB CD 的中点 C

B

••• OM L AB ON 丄 CD •/ AB = CD • OM = ON

•••/

OMN = / ONM

•••/ AMN = 90°—/ OMN / CNM = 90°—/ ONM

•••/

AMN =/ CNM

4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距

例：如图，已知O O 与O Q 为等圆，P 为0、O 的中点，过P 的直线分别交O O 、O Q 于A 、

C D B.求证：AC = BD

证明：过 O 作OM± AB 于M,过Q 作QN 丄AB 于N,贝U OM// O 2N

OM Of

O 2N

OZ P

•/ OP = O 2P • OM = O 2N • AC = BD

二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅 助线的方法：

⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角

例：如图，已知 D E 分别为半径 OA OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE 证明：连结OC

• / AOC =/ BOC

•/ D E 分别为OA OB 的中点，且AO = BO

1

1 • OD = OE = AO = BO

2

2

又••• OC = OC •••△ ODC^A OEC • CD = CE

三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题 例：如图，AB 为O O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且 AC= PC,PB 的延长线交O

O 于D,求证：AC = DC 证明：连结AD

•/ AB 为O O 的直径 • / ADP = 90° •/ AC = PC

1

• AC = CD = AP

••• C 为弧AB 的中点 • A B ?C

△

C

P

例（2005年自贡市）如图2, P是O O的弦CB延长线上一点，点A在O O上，且

BAP C。求证：PA是O O的切线。

证明：作O O的直径AD,连BD则

C D, AB

D 90 即D BAD 90

C BA

D 90

C PAB

BAD PAB 90 即AP AD

四.遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径

练习：如图，在Rt△ ABC中，/ BCA= 90o ,以BC为直径的O O交AB于E, D为AC中点，连结BD交O O于F.求证：

BC CF

BE EF

五.有等弧时常作辅助线有以下几种:

⑴作等弧所对的弦

⑵作等弧所对的圆心角

⑶作等弧所对的圆周角

练习：1.如图，O O的直径AB垂直于弦CD交点为E, F为DC延长线上一点，连结AF交O O于M.求证：/ AMD =Z FMC提示：连结BM）

2.如图，△ ABC内接于O O, D E在BC边上，且

（提示如图）

B 1题

图

C

2题

图

BD = CE,Z 1 = / 2,求证：AB = AC

••• PA为O O的切

线。

2

4 4

六. 有弦中点时，常构造三角形中位线

1

例：已知，如图，在O O 中，AB 丄CD OEL BC 于E,求证：0E =_ AD

证明：作直径CF,连结DF BF

•/ CF 为O 0的直径 ••• CD L FD 又••• CD L AB • AB// DF •

A D

B F

• AD = BF

••• OEL BC O 为圆心 CO = FO

1

• CE = BE • OE = BF

2 1

• OE = AD

2

七.

圆上有四点时，常构造圆内接四边形

•

例：如图，△ ABC 内接于O O,直线AD 平分/

AB- AC = AD • AE 证明：连结BE

•••/ 1 = / 3 / 2 = / 1

• / 3 = /2

•••四边形ACBE 为圆内接四边形 • / ACD =/ E •

△ AB0A ADC

• AE AB

AC AD

• AB- AC = AD • AE

八. 两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图，O O 与O Q 相交于A 、B,过A 的直线分别交O O 、O O 于C 、D,过B 的直线分别

交O O 、O Q 于 E 、F.求证：CE// DF 证明：连结AB

•••四边形为圆内接四边形 • / ABF =/C

同理可证：/ ABE =Z D

•••/ ABF +Z ABE = 180 • / C +Z D = 180

• CE// DF

九•在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：

⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆

心，得到辅助半径，再证明所 作半径与这条直