空间向量的数量积运算只是分享
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图 D12 (1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3.
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴B→A1＝(1，－1,2)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1·C→B1＝3，
|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，点 N 是 A1A 的中点．
(1)求 BN 的长； (2)求cos〈B→A1，C→B1〉的值．
图 3－1－10
自主解答：如图 D12，以 C 为原点，C→A、C→B、C→C1的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz.
图 D11
【变式与拓展】 2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋
2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量 a，b 的坐标分别是_(_3_,2_,_－__1_) __， __(－__2_,_4_,2_)____.
题型3 空间向量的夹角、距离公式的应用 例3：已知如图 3－1－10，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底
9．在空间直角坐标系中，已知点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 A 与 B 两点间的距离 dAB＝|A→B|＝__x_1－__x_2__2＋___y_1－__y_2__2＋___z_1－__z_2.2
题型1 空间向量的坐标运算 例1：已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b；
∴可设D→A＝i，A→B＝j，A→P＝k.
如图 D11，以 i，j，k 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz.
∵M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C
＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)
＝－12j＋k＋12(－k－i＋j)
＝－12i＋12k，
∴M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
∴cos〈B→A1，C→B1〉＝|BB→→AA11|··|CC→→BB11|＝
30 10 .
【变式与拓展】
1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b＝( D )
A．(16,0,4)
B．(8，－16,4)
C．(8,16,4)
D．(8,0,4)
解析：4a＋2b＝4(3,－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12,－8,4)＋ (－4,8,0) ＝(8,0,4)．故选 D.
a－b；a·b；(2a)·(－b)；(a＋b)·(a－b)． 思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用． 自主解答：a＋b＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2,－2,2)； a－b＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0,－6)； a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.
4．设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单 位向量，称它们为_单__位__正__交__基__底_____．
5．在空间选定一个单位正交基底{e1，e2，e3 }，以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为__原__点__，分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的___正__方__向__建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一个 向量 p ，一定可以把它平行移动，使它的起点_与__原__点__O__重__合_____， 得到一个向量_O_→_P_＝__p__．由空间向量分解定理可知，存在有序实 数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_e_1＋__y_e_2_＋__z_e3_．我们把_x_，__y_，__z 称作向
空间向量的数量积运算
3．如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组 成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看 作是由 a，b，c 生成的，我们把_{_a_，__b_，__c_}___叫做空间的一个 基底 ，_a_，__b_，__c__ 都叫做基向量 ．空间任何_三__个__不__共__面__的__向__量_ 都可构成空间的一个基底．
量p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作_p_＝__(x_，__y_，__z_)_．
6．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的_终__点__与__始__点__的__坐__标__之__差__．
7．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝_(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)___； a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)__； λa＝__(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)____；a·b＝___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3； a∥b⇔__a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λb_2_，__a_3_＝__λ_b_3(_λ_∈__R_)_________； a⊥b⇔_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0___.
题型2 坐标表示空间向量 例2：已知 PA 垂直于边长为 1 的正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA ＝AD.建立直角坐标系 并求M→NFra Baidu bibliotekD→C的坐标．
思维突破：空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互 相垂直的直线．
自主解答：∵PA＝AD＝AB，且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，
8．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
___a_12＋__a_22_＋__a_23_；co〈s a，b〉＝|aa|·|bb|＝___a_21_＋__a_22_＋__a_32·__b_12_＋__b_22_＋__b_23 __.
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴B→A1＝(1，－1,2)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1·C→B1＝3，
|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，点 N 是 A1A 的中点．
(1)求 BN 的长； (2)求cos〈B→A1，C→B1〉的值．
图 3－1－10
自主解答：如图 D12，以 C 为原点，C→A、C→B、C→C1的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz.
图 D11
【变式与拓展】 2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋
2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量 a，b 的坐标分别是_(_3_,2_,_－__1_) __， __(－__2_,_4_,2_)____.
题型3 空间向量的夹角、距离公式的应用 例3：已知如图 3－1－10，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底
9．在空间直角坐标系中，已知点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 A 与 B 两点间的距离 dAB＝|A→B|＝__x_1－__x_2__2＋___y_1－__y_2__2＋___z_1－__z_2.2
题型1 空间向量的坐标运算 例1：已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b；
∴可设D→A＝i，A→B＝j，A→P＝k.
如图 D11，以 i，j，k 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz.
∵M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C
＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)
＝－12j＋k＋12(－k－i＋j)
＝－12i＋12k，
∴M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
∴cos〈B→A1，C→B1〉＝|BB→→AA11|··|CC→→BB11|＝
30 10 .
【变式与拓展】
1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b＝( D )
A．(16,0,4)
B．(8，－16,4)
C．(8,16,4)
D．(8,0,4)
解析：4a＋2b＝4(3,－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12,－8,4)＋ (－4,8,0) ＝(8,0,4)．故选 D.
a－b；a·b；(2a)·(－b)；(a＋b)·(a－b)． 思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用． 自主解答：a＋b＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2,－2,2)； a－b＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0,－6)； a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.
4．设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单 位向量，称它们为_单__位__正__交__基__底_____．
5．在空间选定一个单位正交基底{e1，e2，e3 }，以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为__原__点__，分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的___正__方__向__建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一个 向量 p ，一定可以把它平行移动，使它的起点_与__原__点__O__重__合_____， 得到一个向量_O_→_P_＝__p__．由空间向量分解定理可知，存在有序实 数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_e_1＋__y_e_2_＋__z_e3_．我们把_x_，__y_，__z 称作向
空间向量的数量积运算
3．如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组 成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看 作是由 a，b，c 生成的，我们把_{_a_，__b_，__c_}___叫做空间的一个 基底 ，_a_，__b_，__c__ 都叫做基向量 ．空间任何_三__个__不__共__面__的__向__量_ 都可构成空间的一个基底．
量p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作_p_＝__(x_，__y_，__z_)_．
6．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的_终__点__与__始__点__的__坐__标__之__差__．
7．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝_(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)___； a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)__； λa＝__(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)____；a·b＝___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3； a∥b⇔__a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λb_2_，__a_3_＝__λ_b_3(_λ_∈__R_)_________； a⊥b⇔_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0___.
题型2 坐标表示空间向量 例2：已知 PA 垂直于边长为 1 的正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA ＝AD.建立直角坐标系 并求M→NFra Baidu bibliotekD→C的坐标．
思维突破：空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互 相垂直的直线．
自主解答：∵PA＝AD＝AB，且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，
8．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
___a_12＋__a_22_＋__a_23_；co〈s a，b〉＝|aa|·|bb|＝___a_21_＋__a_22_＋__a_32·__b_12_＋__b_22_＋__b_23 __.