矢量运算模型

002 矢量运算模型

矢量运算是高中物理的重点和难点之一. 常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个高中物理教学的始终，所以我们把矢量运算作为解决其它物理模型的工具，在讲解其他物理模型之前，有必要熟练掌握矢量的运算规律。

一. 矢量运算法则：平行四边形定则。

1. 标量运算遵循一般的代数法则，矢量运算一般用平行四边形定则，也可推广至三角形定则、多边形定则或正交分解法等。

①三角形定则：把两个矢量首尾相接，将第一个矢量的箭尾连到第二个矢量的箭头所得到的矢量，即为这两个矢量的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做三角形定则。

②多边形定则：将所有矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做多边形定则，其大小和方向与相加次序无关。

③正交分解法：是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算。正交分解法在求解不在一条直线上的多个矢量的和时显示出了较大的优越性。

使用正交分解法进行矢量运算在建立平面直角坐标系时，一般选代表各个矢量的作用线或其延长线的交点为坐标原点，并尽可能使较多的矢量落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的矢量的数目，简化运算过程。

2. 矢量的合成与矢量的分解互为逆运算。矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制时，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量，因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。如果已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。

3. 在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。在以后的学习过程中，例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。只要效果相同，都可以进行“等效替代”。

二．矢量运算的三种模型

1. 矢量运算包括矢量的合成与矢量的分解，二者互为逆运算。求和与分解的界限并不是绝对的，很多时候想求和往往必须先要进行分解的运算，从这个角度讲，对分解的理解和掌握程度决定要分析的问题能否取得突破。

2. 矢量的分解有广义和狭义两种。狭义的矢量的分解，单一就指力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度这些矢量的分解；广义的的矢量的分解可以理解成运动的合成和分解、定理和定律的合成与分解。

3. 矢量运算的三种模型：矢量的合成与矢量的分解运算、运动的合成和分解运算、定理和定律的合成与分解运算

三. 矢量的合成与分解运算

中学物理中涉及的矢量有力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度等。同学们只习惯于对力进行分解，但在某些问题中，通过分解除力之外的其它矢量来求解，会收到事半功倍的效果。

1. 只分解力 不分解其它的矢量

对物体受力分析后选两个互相垂直的方向建系并对没有落在两个坐标轴上的力进行正交分解，再根据物体所处的状态建立物理方程.

解决共点力作用下物体的平衡问题和动力学问题常用此法 例1. 一带正电的小球质量为m kg =⨯-1102，带电量为q C =⨯-1102，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间中沿一斜线向下做匀速直线运动，如图1所示。已知其水平分速度为v m s x =6/，磁感应强度大小为B T =1，方向垂直纸面向里，电场力做负功的功率大小为P W E =03.。求电场强度E 的大小和方向。（g 取102m s /，方向可用反三角函数表示）

图1

例２．如图2，风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调节的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室.小球孔径略大于细杆直径. （sin37°=0.6 cos37°=0.8）

（1）当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆

上做匀速运动，这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍，求小球与杆间的滑动摩擦因数.

（2）保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37°，并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s 所需时间为多少？

图2

2. 只分解加速度 不分解其它的矢量

物体受到的所有作用力恰好在互相垂直的两个方向上无需分解, 或对力进行分解运算过程较为繁琐时, 通常分解加速度较为合适

通常选作用力所在的两互相垂直的方向建系并对加速度进行正交分解，在所选的互相垂直的方向根据牛顿第二定律建立物理方程求解未知量，即：

F ma F ma x x y y ==，

式中F F x y 、分别表示沿x 、y 轴方向的合外力，a a x y 、分别表示沿

x 、y 轴方向的加速度

例3、如图3所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？

3. 分解速度

（1）处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： ①独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，风

各自产生效果（分分、s v ）互不干扰。

②同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。 ③等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

（2）高中物理“速度的分解”这一知识常常“隐形”渗透到不同运动方向的连结体运动的情景中，或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景中。如果解题者稍有不慎，就会因不能正确的应用速度分解，而造成对整道题的解答错误。

（3）在速度的合成与分解中，判断物体运动的速度是合速度还是分速度是关键问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动，即物体实际的运动方向为合运动方向. 合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题

下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析，把握此知识点出现的规律性，以便灵活、准确的应用。

图4

例4. 如图4，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是（ ）

A. 绳的拉力大于A 的重力

B. 绳的拉力等于A 的重力

C. 绳的拉力小于A 的重力

D. 拉力先大于A 的重力，后小于重力

拓展：某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，人握绳的手离滑轮的距离为H 。人由静止拉着绳向右移动，当人运动到右方某位置时，人的速度为v ，绳