深圳平湖平湖中学数学整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]
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【详解】
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣ （a+b）•b﹣ a2
= a2+ b2﹣ ab
(1)计算：F（24）；
(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝ ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.
详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．
【解析】
【分析】
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
3．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
例如：
．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将 化成 的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
① ；② ．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）将多项式 即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式 即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
（1）写出 的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
【详解】
（1） ，
（2）方法一：
=
方法二：
=
=
= .
【点睛】
解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.
= （a+b）2﹣ ab
= ×102﹣ ×20
=50﹣30
=20．
【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.
4．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝ ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝ ．请解答下列问题：
（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．
【详解】
解：（1） = = ，
故答案为： ；
（2）①
．
②
．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，第四行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
其中4与6的差的绝对值最小，
∴F(24)＝ ＝ .
(2)∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2，
其中n(n＋1)与(n＋1)的差的绝对值最小，且(n＋1)≤n(n＋1)，
∴F(n3＋2n2＋n)＝ ＝ .
点睛：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
5．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式： 和完全平方公式： 进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣ （a+b）•b﹣ a2
= a2+ b2﹣ ab
(1)计算：F（24）；
(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝ ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.
详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．
【解析】
【分析】
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
3．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
例如：
．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将 化成 的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
① ；② ．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）将多项式 即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式 即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
（1）写出 的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
【详解】
（1） ，
（2）方法一：
=
方法二：
=
=
= .
【点睛】
解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.
= （a+b）2﹣ ab
= ×102﹣ ×20
=50﹣30
=20．
【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.
4．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝ ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝ ．请解答下列问题：
（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．
【详解】
解：（1） = = ，
故答案为： ；
（2）①
．
②
．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，第四行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
其中4与6的差的绝对值最小，
∴F(24)＝ ＝ .
(2)∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2，
其中n(n＋1)与(n＋1)的差的绝对值最小，且(n＋1)≤n(n＋1)，
∴F(n3＋2n2＋n)＝ ＝ .
点睛：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
5．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式： 和完全平方公式： 进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．