(完整版)解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式

解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(

⎩

⎨⎧<∆<⇔a

例1．已知函数])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(2

2

>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有

04)1(22<--=∆a a 解得3

1

1>

-

1()1,(+∞--∞Y 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2

+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F

当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1

220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法（分类讨论）

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔ 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in

≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-2

37)2()(2

2

m in a f x f a

或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

≥--=-=≤-≤-243)2()(2222

m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.

练习、若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -

<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7

3

a ∴≤又4a >所以a 不存在；

（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫

=-=--≥ ⎪⎝⎭

62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤

（3） 当22

a

-> 即：4a <-时，

()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又

4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤

例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x

a

x x x f 恒成立，

考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022

>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2

在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++

=x

a

x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、确定主元（变换主元）

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例5、若不等式(

)

2

211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()

()2

121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，

()()()()()()2221210202021210

x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪

∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩

x <<例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2

>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2

+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有⎩⎨

⎧>->0

)1(0

)1(f f 解之得31>

注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨

⎧>>0

)(0

)(βαf f 。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔

实际上，上题就可利用此法解决。

略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22

-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2

--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。

例7．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

4-<

对]4,0(∈x 恒成立。令x

x x x g 2

4)(-=，则min )(x g a < 由14

4)(2

-=

-=x

x

x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、利用集合与集合间的关系