2021高考数学人教版一轮复习练习：第二章 第5节 指数与指数函数

多维层次练11

[A 级 基础巩固]

1．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )

A ．y ＝sin x

B ．y ＝x 3

C ．y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

D ．y ＝log 2x

解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；

y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；

y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意． 答案：B

2．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y ＝3x

与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

的图象的

说法正确的是( )

A ．关于y 轴对称

B ．关于x 轴对称

C ．都在x 轴的上方

D ．都过点(0，1)

解析：在同一坐标系中，作出y ＝3x

与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

图象(略)，

知两函数的图象关于y 轴对称，A 项正确．

由指数函数的性质，知选项C、D正确．

答案：ACD

3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()

解析：设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，

＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝z

b

数．其图象应为选项D.

答案：D

4．若00，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b等于()

A. 6 B．－2或2 C．－2 D．2

解析：因为a b＋a－b＝22，所以a2b＋a－2b＝8－2＝6，

所以(a b－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.

因为00.

所以a b

答案：C

5．(2020·惠州调研)若0

解析：因为0

所以a b >a a ，b a

又y ＝x b 在(0，＋∞)上递增，所以a b >b b ， 综上a b 为最大的值． 答案：C

6．(多选题)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1－2－x

，x ≥0，

2x －1，x <0，则下列关于函数f (x )

的说法正确的是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．单调递增

D ．单调递减

解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1－2x ＝－f (x )． 又f (0)＝1－20＝0， 所以f (x )在R 上为奇函数， 易知f (x )为R 上的增函数． 答案：AC

7．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

13ax 2－4x ＋3

有最大值3，则a ＝___________.

解析：令h (x )＝ax 2

－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13h （x ）

，由于f (x )有最大值3，

所以h (x )应有最小值－1，

因此必有⎩⎪⎨⎪

⎧a >0，12a －164a ＝－1，

解得a ＝1，

即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 答案：1

8．(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x

2x ＋ax

的图象经过点

P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝

⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________． 解析：依题设知f (p )＝65，且f (q )＝－15

，

所以⎩⎪⎨⎪

⎧2p 2p ＋ap

＝65， ①2q 2q

＋aq

＝－1

5， ②

①＋②得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）

（2p ＋ap ）（2q

＋aq ）＝1， 整理得2p ＋q ＝a 2pq .

又2p ＋q ＝36pq ，所以a 2pq ＝36pq . 由于pq ≠0，得a 2＝36(a >0)，则a ＝6. 答案：6

9．设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________．

解析：由于g (x )＝a |x ＋b |是偶函数，知b ＝0， 又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1. 则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)， 故g (a )>g (1)＝g (b －1)．

答案：g (a )>g (b －1)

10．设函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0，且a ≠1)，若y ＝f (x )的图象过点(1，7)．

(1)求a 的值及y ＝f (x )的零点． (2)求不等式f (x )≥－5

3

的解集．

解：(1)因为y ＝f (x )的图象经过点(1，7)， 所以f (1)＝a 2－2＝7，则a 2＝9. 又因为a >0，所以a ＝3， 所以f (x )＝3x ＋1－2. 令f (x )＝0，解得x ＝log 32

3，

所以y ＝f (x )的零点为x ＝log 32

3

.

(2)因为f (x )≥－53，所以3x ＋1

－2≥－53，

所以3x ＋1≥3－1，所以x ＋1≥－1，

所以x ≥－2，所以原不等式的解集为[－2，＋∞)．

[B 级 能力提升]

11．(2020·济南一中检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫23|x |

－x 2

3且满足f (2a －

1)>f (3)，则a 的取值范围为( )

A ．a >2

B ．a <2

C ．－1

D ．a <－1或a >2

解析：易知f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫23|x |

－x 2

3是R 上的偶函数，