最短距离问题

C

不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点” 几何模型：

条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．

问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：

1.如图1，正方形A B C D 的边长为2，E 为A B 的中点，

P 是A C 上一动点．连结B D ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线A C 对称．连结E D 交A C 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；

2.如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，

O A O B ⊥，60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点

求P A P C +的最小值；

3.如图3，45A O B ∠=°，P 是A O B ∠内一点，10P O =，

Q R 、分别是O A O B 、上的动点，求PQR △

周长的最小值．

4. .如图所示，正方形A B C D 的面积为12，A B E △是等边三角形，点E 在正方形A B C D 内，

在对角线A C 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．3 D

5. .如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为A(4,0)和C(0,2)，D 为OA 的中点．设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．

（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O ﹑P ﹑D 三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点P 的坐标和△PDE 的周长；

（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P 的坐标．

A

B

A ′ P

l

A

B P

R

Q 图3

A B

P 图1

A

B

C

图2

P

A

D

E

P

B

C

6.如图，抛物线2

y ax bx c =++的顶点P

的坐标为

1?- ??

，，交x 轴于A 、B 两点，交y

轴于点(0C -，

．

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小， 若存在，请写出点F 的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．

.

7. .已知：抛物线的对称轴为X=-1，图像与x 轴交于A,B 两点，与Y 轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0，-2)（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标和最小周长． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE//PC 交X 轴于点E 连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．