第讲周期信号的傅里叶变换
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T1 2
f0 (t).e jt dt
所以 Fn
1 T1
F0 ( )
n1
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号
的傅立叶变换的关系
f (t)
1
Fn
T1 F0 (0)
f0 (t)
Fn
1 T1
F0 ( )
n1
F0 ( )
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值；
F0 ( ) FT [1] 2 ( ) FT [ f0 (t ).e j1t ] F0 ( 1 )
FT[cos1 t]
F
T[
1 2
(e j1t
e j1t )]
[ ( 1) ( 1)]
FT[sin1 t]
F
T[
1 2j
(e j1t
e j1t )]
j [ ( 1) ( 1)]
周期信号的频谱 F () 是离散谱，是频谱密度
对有限长余弦的频谱求极限，得到无限长余弦频谱
f0 (t) g(t) cos 1t g(t)(e j1t e ) j1t / 2
F0 ( )
1 [G(
2
1) G(
1 )]
2
Sa[(
1 )
2
]
2
Sa[(
1 )
2
]
c os1t
lim
f0 (t)
F T[c os1t ]
lim
2
T (t )
n
(t nT1 )
Fn .e jn1t
n
1 T1
e jnt
n
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f
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2
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n
(
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F ( ) FT [ T (t)] 1 ( n1) n
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1
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T1
FT
t
FS t F ( )
1
0
1 Fn T1
Sa(
1 )
2
2
Sa(
1)
2
() lim Sa( )
FT[cos1t] [ ( 1) ( 1)]
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1
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2
2
2
1
1
1
( 1)
F ( )
( 1)
1
1
2.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t) 的指数形式的傅里级数展开式为
f (t )
同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具 统一起来。
周期信号的傅立叶变换
复指数信号的傅里叶变换 正余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的FS和FT 周期信号的FS与其单周期信号的FT的关系 周期矩形脉冲的FS和单脉冲信号FT 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
Fn .e jn1t
n
系数： Fn
1 T1
T1 / 2 f (t)e jn1t dt
T1 / 2
根据傅里叶变换的线性和频移特性
FT [ f (t)] 2 Fn ( n1 ) n
2.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn ( n1) 2 Fn ( n1)
n
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成，
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
1 0 1 21
21 1 0 1 21
3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函数
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系
由FS
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
取f(t)的一个周期 f0 (t) ，其FT为 F0 ()
F0 (
)
T1 2
周期信号的傅立叶变换存在条件
周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在
的。 周期信号的频谱是离散的频谱密度， 即傅立
叶变换是一系列冲激。
1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
因为 对于复指数
由频移特性，可知
1 2 () f (t) e j0t 1 e j0t 2 ( 0 )
而对于正弦和余弦信号 f (t) sin 0t, f (t) cos0t 根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )] sin 0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
余弦信号和正弦信号的波形及其频谱
正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性
第17讲周期信号的傅里叶变换
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
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FT [cos 1 t] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1)
F ( ) ( 1)
1
0
1
FT [sin 1 t] j [ ( 1 ) ( 1)]
1
( 1)
jF() ( 1)
0
1
正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法
有限长余弦 f0 (t) 看成矩形g(t) 乘 cos1t
第 17 讲 周期信号的的频谱
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令 周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶 级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号 的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。
尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后， 可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周 期信号的离散频谱。
这些冲激函数位于信号的各谐波频率 n1 处，其强度为相应傅
里叶级数系数Fn 的 2 倍。
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密 度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数 ，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范 围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。
3、周期单位冲激序列的傅里叶变换
f0 (t).e jt dt
所以 Fn
1 T1
F0 ( )
n1
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号
的傅立叶变换的关系
f (t)
1
Fn
T1 F0 (0)
f0 (t)
Fn
1 T1
F0 ( )
n1
F0 ( )
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值；
F0 ( ) FT [1] 2 ( ) FT [ f0 (t ).e j1t ] F0 ( 1 )
FT[cos1 t]
F
T[
1 2
(e j1t
e j1t )]
[ ( 1) ( 1)]
FT[sin1 t]
F
T[
1 2j
(e j1t
e j1t )]
j [ ( 1) ( 1)]
周期信号的频谱 F () 是离散谱，是频谱密度
对有限长余弦的频谱求极限，得到无限长余弦频谱
f0 (t) g(t) cos 1t g(t)(e j1t e ) j1t / 2
F0 ( )
1 [G(
2
1) G(
1 )]
2
Sa[(
1 )
2
]
2
Sa[(
1 )
2
]
c os1t
lim
f0 (t)
F T[c os1t ]
lim
2
T (t )
n
(t nT1 )
Fn .e jn1t
n
1 T1
e jnt
n
FT [
f
(t )]
2
1 T1
n
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n1 )
F ( ) FT [ T (t)] 1 ( n1) n
(t)
(1)
F0 ( )
1
0
T (t)
T1
FT
t
FS t F ( )
1
0
1 Fn T1
Sa(
1 )
2
2
Sa(
1)
2
() lim Sa( )
FT[cos1t] [ ( 1) ( 1)]
f0 (t)
1
F0 ( )
2
2
2
1
1
1
( 1)
F ( )
( 1)
1
1
2.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t) 的指数形式的傅里级数展开式为
f (t )
同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具 统一起来。
周期信号的傅立叶变换
复指数信号的傅里叶变换 正余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的FS和FT 周期信号的FS与其单周期信号的FT的关系 周期矩形脉冲的FS和单脉冲信号FT 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
Fn .e jn1t
n
系数： Fn
1 T1
T1 / 2 f (t)e jn1t dt
T1 / 2
根据傅里叶变换的线性和频移特性
FT [ f (t)] 2 Fn ( n1 ) n
2.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn ( n1) 2 Fn ( n1)
n
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成，
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
1 0 1 21
21 1 0 1 21
3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函数
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系
由FS
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
取f(t)的一个周期 f0 (t) ，其FT为 F0 ()
F0 (
)
T1 2
周期信号的傅立叶变换存在条件
周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在
的。 周期信号的频谱是离散的频谱密度， 即傅立
叶变换是一系列冲激。
1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
因为 对于复指数
由频移特性，可知
1 2 () f (t) e j0t 1 e j0t 2 ( 0 )
而对于正弦和余弦信号 f (t) sin 0t, f (t) cos0t 根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )] sin 0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
余弦信号和正弦信号的波形及其频谱
正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性
第17讲周期信号的傅里叶变换
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
wenku.baidu.com
FT [cos 1 t] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1)
F ( ) ( 1)
1
0
1
FT [sin 1 t] j [ ( 1 ) ( 1)]
1
( 1)
jF() ( 1)
0
1
正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法
有限长余弦 f0 (t) 看成矩形g(t) 乘 cos1t
第 17 讲 周期信号的的频谱
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令 周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶 级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号 的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。
尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后， 可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周 期信号的离散频谱。
这些冲激函数位于信号的各谐波频率 n1 处，其强度为相应傅
里叶级数系数Fn 的 2 倍。
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密 度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数 ，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范 围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。
3、周期单位冲激序列的傅里叶变换