高一数学圆与方程PPT优秀课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆与方程课件PPT
F＝12.
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
解析答案
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解 由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0， 解得a＝2或6.
思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什 么图形？ 答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4， 表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)_，___22_|a_|__；
解 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
可化为(x＋2a)2＋(y－a2)2＝a22，
圆心坐标为(－a2，a2)，半径为
2|a| 2.
解析答案
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1 ＝0对称，则该圆的面积为_9_π___. 解 圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 的圆心坐标是(－2k，－1)， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－2k＋1＋1＝0 得 k＝4， 圆 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的半径为21 42＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
高一数学圆的方程PPT 课件
； / 注塑模具
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一起，低声说些话，那话自然是人家听不清的了，说两句，瞟婆子一眼，居然笑了笑。婆子心里就一抖。从六 屋子门口，到芙蓉树的后院这儿， 当中要过一道中门，平常都开着。宝音回去，踏入中门，就叫把门关上。婆子看不见里头的情形了。哪怕表 从其他路走出去拜访谁，她都看不 到了！婆子心里又一抖。宝音回了屋，洛月在外头、乐韵在屋里做宝音布置的差使，都是神秘而奇怪的事，乐韵要给宝音化妆，而且往丑里化， 还要自然。乐韵虽还不懂为何如此，但也尽力施为，宝音又略作点拨：“这里你看是不是偏了些？”“哟，这点子不错！”乐韵一发使出浑身 解数，力求作更佳表现。她虚荣、好强。宝音先压服她，再用她、称赞她，像对付一匹烈马，软硬得当，这匹曾走过缰的马儿，而今已基本可 用。片刻，飘儿通报说，七 求见。乐韵眼中立刻泛起激赏。洛月或者不懂，乐韵是懂的。两人闹了矛盾，谁主动跑去找谁，这之中有很大分别。 宝音足不出户，怎能让明蕙巴巴的上门来？乐韵很觉钦佩。宝音却阖上了眼睛，仿佛睡着了，乐韵轻轻的叫了两声，宝音都不理不睬，乐韵会 意，便蹑足退出去，向七 禀报：“我们 睡着了，这上下无法见客，还请七 宽坐——飘儿，”呵斥道，“茶怎么还不泡上来？”“不必了。” 明蕙假笑，“我闻说表姐今儿好了很多，才想着来道贺的。怎么表姐又卧床不起了么？”“是卧床，”乐韵不带一丝烟火气的打发她，“过会 儿大约就能起了。七 再坐坐？还是一并在这儿用过午膳？乐韵去请厨房准备。”明蕙脸色一变。乐韵深深的又福了一福，心里可没一丝好气。 七 总是向上巴结、向下踩，谁不知道？开玩笑！这种“主子”最叫人看不起了。前头些年里，乐韵也巴结过明蕙，明蕙也没一丝好处到乐韵跟 前，赶着欺负韩毓笙的过程中，造些小局还把乐韵一并儿给害了！当时表 自己软弱、也不替乐韵撑腰，乐韵有冤没处诉，如今 濒死一场、改 弦易张，乐韵春江水暖鸭先知，七 再要过来掐软豆腐，没那么容易呢！明蕙不耐烦扬声道：“表姐怎么这个时辰还高卧？我不等了，反正也不 是睡觉的点儿，好叫她起来了罢！”乐韵那抹骇然，跟真的一样：“七 ……我们姑娘这病，您也不是不晓得。病沉的时候，实在，连老太太 都……”明蕙恼了：“一会儿说过会儿能起了，一会儿说病沉不能。那表姐是好了还是没好呢？”乐韵语调上是不敢触犯七 ，免得吃眼前亏， 骨头可埋在话里面呢：“好没好，奴婢们也着急，总得大夫把了脉才算。七 在奶奶们面前受宠，可听说有什么好大夫，能替我们 请了来么？” 明蕙哼了一声，既不好说她在二太太、大太太面前何尝受宠，又不好说就算受宠，也不高兴帮韩毓笙请名医。见丫头这儿问不出什么来，她
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
高一数学圆的标准方程课件ppt.ppt
为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
圆与方程ppt课件
解的唯一性
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
高中数学4.1.1圆的标准方程(19张PPT)理科优秀课件
x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5
(x-3)2+(y-4)2=5
探究 思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种
位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆
的位置关系？
A
A
A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0) 和圆C：(xa)2(yb)2r2 ，如何判断
P = { M | |MC| = r }
M(x,y)
(xa)2(yb)2r
OC
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(xa)2(yb)2r2
OC
x
标准方程
几种特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 圆心在x轴上: (x a)2 + y2 = r2 圆心在y轴上: x2+ (y b)2 = r2
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y11(x3) 23 2
即x3y30
x x
3y 30
y 10
x y
3 2
C(3,2)
r |A| C(13 )2(12 )25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x3 )2(y2)225
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(2)圆心在(3,4),半径是 5
(x-3)2+(y-4)2=5
探究 思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种
位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆
的位置关系？
A
A
A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0) 和圆C：(xa)2(yb)2r2 ，如何判断
P = { M | |MC| = r }
M(x,y)
(xa)2(yb)2r
OC
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(xa)2(yb)2r2
OC
x
标准方程
几种特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 圆心在x轴上: (x a)2 + y2 = r2 圆心在y轴上: x2+ (y b)2 = r2
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y11(x3) 23 2
即x3y30
x x
3y 30
y 10
x y
3 2
C(3,2)
r |A| C(13 )2(12 )25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x3 )2(y2)225
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
高中圆与方程PPT课件
z
P1(x1 , y1, z1 )
O
P2(x2 , y2 , z2x)
y
第14页/共17页
本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，必须确保
方程不表示圆.
D2+E2-4F>0
否则，
2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数，两圆有一个公共点，可能是 外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐标系.
第15页/共17页
第16页/共17页
谢谢您的观看！
第17页/共17页
圆心到直线 d与r关系
相 切
1
Δ= 0
1根
d=r
相 交
2
Δ> 0
2根
d<r
相
Δ< 0
0
无根
d>r
离
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4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切
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第11页/共17页
高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a)2 (y b)2 r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
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P1(x1 , y1, z1 )
O
P2(x2 , y2 , z2x)
y
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本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，必须确保
方程不表示圆.
D2+E2-4F>0
否则，
2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数，两圆有一个公共点，可能是 外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐标系.
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圆心到直线 d与r关系
相 切
1
Δ= 0
1根
d=r
相 交
2
Δ> 0
2根
d<r
相
Δ< 0
0
无根
d>r
离
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4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切
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高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a)2 (y b)2 r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
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圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
人教版 高一数学 第四章 圆与方程 复习(共16张PPT)教育课件
(1)代数法： 由两圆的方程组成的方程组 有几组实数解确定.
(2)几何法： 依据连心线的长与两圆半 径长的和或两半径的差的绝对值的大小 关系.
例6.圆C1的方程是: x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0， 圆C2的方程是: x2＋y2＋2x－2my＋m2 －3＝0， m为何值时，两圆 (1)相切；当m=-5或m=2时，外切。 当m=-2或m=－1时，内切
•
•
• • 之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮
船正西70km处，受影响的范围是半径长
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
答：不会受影响！
四、圆与圆的位置关系
1. 利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系：
在圆外：X02+y02>r2
二、圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
xD 2 yE 2D 2E24F②
2 2
4
(1) 当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以
( D , E ) 为圆心，
22
1 D2 E2 4F 为半径的圆.
(2)几何法： 依据连心线的长与两圆半 径长的和或两半径的差的绝对值的大小 关系.
例6.圆C1的方程是: x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0， 圆C2的方程是: x2＋y2＋2x－2my＋m2 －3＝0， m为何值时，两圆 (1)相切；当m=-5或m=2时，外切。 当m=-2或m=－1时，内切
•
•
• • 之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮
船正西70km处，受影响的范围是半径长
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
答：不会受影响！
四、圆与圆的位置关系
1. 利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系：
在圆外：X02+y02>r2
二、圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
xD 2 yE 2D 2E24F②
2 2
4
(1) 当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以
( D , E ) 为圆心，
22
1 D2 E2 4F 为半径的圆.
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例2 已知隧道的截面是半径为4m的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽 为 2.7m ， 高 为 3m 的 货 车 能 不 能 驶 入 这个隧道?
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
第一课时
圆的方程
问题情境:
• 1.在平面内点A(3,4)到原点0的距离为多少?
•
B(-3,4)
•2.平面内还有点到原点距离为
A
5的吗?有多少个?
O
圆的标准方程
(x a )2 (y b )2 r2
特点： 1.是关于x、y的二元二次方程,无xy项； 2. 明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r . 4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5 (2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3) (x-8)2+(y+3)2=25
补充练习： 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2
判断下列方程是否为圆的方程如果是的写出下 列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3) x2+(y+3)2=0 (4)(x+a)2+y2=a2
(1,0)
6Байду номын сангаас
(-1,2) 3
不是 (-a,0) |a|
例1 求圆心是C(2，－3)，且经过原点的 圆的方程．