复变函数的可导与解析,高数

定理 1
函数 f (z ) = u( x, y) + iv( x, y)在D上解析的
充要条件是: u( x, y)和v( x, y)在D内任一点 z = x0 + iy0 可微, 而且满足 − R方程 : C ux = v y , u y = −v x
且 ∂u ∂v ∂v ∂u f ′(z ) = +i = −i ∂y ∂x ∂x ∂y
2 2
初等函数 三 初等函数 1. 指数函数 指数函数
性质： 性质：
w = e = e (cos y + i sin y)
z x
1 （） e z = e x , Arge z = y + 2kπ (2) (3) (4) e z1 e z1 e z 2 = e z 1 + z 2 , z 2 = e z 1 − z 2 e 周期性： e 周期性： z + 2kπi = e z ′ = ez 处处解析， 处处解析，且有 (e )
存在, 则称 f (z ) 在 z0可导, 其极限值称为 f (z )在 z0的导数, 记作 dw f ′(z0 ) = dz
z = z0
f (z ) − f (z 0 ) = lim z →z 0 z − z0
如果 f (z ) 在区域D内每一点都可导则 , 称 f (z )在D内可导.
的导数. 例1. 求f(z)=zn, (n 为正整数 ) 的导数
复数的乘幂： 复数的乘幂：
设 z = re 为 z
n iθ
= r (cos θ + i sin θ ), 则 z 的 n 次幂
iθ
= ( re
iθ
) = r (cos n θ + i sin n θ )
n n
复数的方根： 复数的方根：
设 z = re 为ω =
n
= r (cos θ + i si百度文库 θ ), 则 z 的 n 次方根
z
对数函数 2. 对数函数
w = Lnz = ln z + iArg z = ln z + i(arg z + 2kπ )
Lnz为无穷多值函数。对应 为无穷多值函数。 k 于每个固定的 ， 可确定的一个单值分支 记为 Lnz )k .当 Argz 取主值 ， ( arg z时，相应的对数称为 z的主值，记为 z，即 Ln 的主值， ln ln z = ln z + i arg z Lnz = ln z + 2kπ − − − Lnz 的主值支 i (k = ±1,±2,L)
例7 例8
内为常数， 若函数 f ( z )在区域 D内解析且 | f ( z ) | 在D内为常数， 试证f ( z )在D内必为常数。 内必为常数。
的解析函数， 如果f ( z ) = u + iv是z的解析函数，证明 ∂ | f (z) | ∂ | f (z) | =| f ′( z ) |2 + ∂x ∂y
5 一个分支， w 例9 求w = Lnz一个分支，使 (i ) = π i , 2 并计算此时w(−2i ) 的值.
( 1+ iπ ) 4
计算 e
及辐角与辐角主值。 及辐角与辐角主值。
3.幂函数 3.幂函数 α (ln z +iArgz ) α αLnz w= z =e =e = eα (ln z +2kπi )
为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
解析性： 解析性： • Lnz在除原点与负实轴外的 其它点处连续 (Qln z 除原点外连续， − arg z = −π , lim+ arg z = π 除原点外连续， lim
y →0 y →0
⇒ arg z除原点与负实轴外连续 ） • ln z在除原点与负实轴外的 其它点处解析 1 1 1 ′ ( ln z）= w = w = ) （ ′ z （e ） e • Lnz的各个分支在除原点与 负实轴外的其它 点处解析， ln . 点处解析，且与 z有相同的导数值
( x , y )→( x0 , y0 )
lim
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。 连续的性质。
复变函数 函数的导数 三. 复变函数的导数 定义
, 设函数w = f (z ) 在 z0 的某邻域内有定义如 果极限 f (z ) − f (z 0 ) ∆w lim = lim z →z0 ∆z →0 ∆z z − z0
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
n −1
;
( 3) ( f (z ) ± g (z )) = f ′(z ) ± g ′(z );
4 . z = re
iθ
指数表示法） （指数表示法）
其中： 其中： r = z =
x + y − − z的模
2 2
θ = Argz − − z的幅角 .
个幅角， 任一非零复数有无穷多 个幅角，称在 内的幅角为主幅角， 范围 ( −π , π ]内的幅角为主幅角，记 为 arg z . Argz = arg z + 2 kπ , k = ± 0,± 1,L
称为z 的主值
α
的各个单值分支， z 对应于Lnz的各个单值分支， α 的各个单值分支在除原 处解析，且有 点与负实轴外的其它点 处解析， ( zα )′ = αzα −1
例10
计算（ 1 ） ） 计算（ (−1
−i
(2) i
2
3 ( （）1 + i） ）
i
e -e 4.三角函数 4.三角函数 sin z = 2i iz -iz e +e cos z = 2 1 ; 性质 （） sin z, cos z以2π 为周期 2 , ; （） cos z为偶函数 sin z为奇函数 3 在复平面上处处解析， （） sin z, cos z在复平面上处处解析， 且 (sin z )′ = cos z, (cos z )′ = − sin z
′
(6) { f ( g (z ))} = f ′(w )g ′(z ), 其中w = g (z );
1 ( 7 ) f ′(z ) = , 其中与为两个互为反函 ϕ ′(w ) 数的单值函数 , 且 ϕ ′(w ) ≠ 0.
′
需要注意的是， 需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元 实函数的导数定义， 实函数的导数定义，虽 然形式上一样，但在 然形式上一样， 本质上有很大的不同。 本质上有很大的不同。 因为一元实函数导数 定义中的极限是一元实 函数的极限，而复变 函数的极限， 函数导数定义中的极限 对应于二元实函数的 极限。 极限。
1 n
z = r (cos
θ + 2kπ
n ( k = 0 ,1 , 2 , L n − 1 )
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
二. 复变函数 复变函数 ：
f : z = x + iy → w = u + iv xy平面上的点集 → uv平面上的点集 w = f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
（2 f ( z ) = xy 2 + ix 2 y ）
（3 f ( z ) = 2 x 3 + i 3 y 3 ）
例5 已知解析函数
例6 已知解析函数 f ( z )的实部为 x − x − y , 求虚部及 f ( z )。
2 2
y f ( z )的虚部 v = 2 , 求 f ( z )。 2 x + y
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复数集： 复数集：
C = {z = x + i y x , y ∈ R } x = Re z , y = Im z , i = −1
复数 z = x + iy ↔ 有序数组 复数域 ↔ 复平面
( x, y)
复数的表示法： 复数的表示法：
1 . z = x + iy 2 . 复平面上的点 P ( x , y ) 或向量 OP 3 . z = r (cos θ + i sin θ ) ( 三角表示法） 三角表示法）
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
p Lnz q
=e
p p ln z + 2k πi q q
, 取k = 0,1,2,Lq − 1时的q个值
1 特别， α 特别，当 = (n为正整数)时，即为 z的n次方根 n • 对其他的 , z α 有无穷多值 α
2 （） Lnz取主值ln z时, 相应的z = e
(3)解析性： 解析性：
α
α ln z
求 u ( x , y ) = x 2 − y 2 + xy 的共轭调和函数 v ( x , y ), 例8 f ( z ) = u + iv 满足 f ( i ) = − 1 + i . 并使解析函数
一个复变函数 例如： 例如：
2 2
二个二元实函数
2 2 2
w = f ( z ) = z = ( x + iy ) = x − y + 2 ixy , u ( x , y ) = x − y , v ( x , y ) = 2 xy
2
可以利用二元实函数的极限， 可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定 义复变函数的极限，连续。 义复变函数的极限，连续。 例如： 例如： u( x, y) + iv( x, y) 极限 lim f ( z ) = lim
f ( z)在区域D内解析 ⇔ f ( z)在区域D内可导
两个解析函数的和、 两个解析函数的和、差、积、商(除去分母 除去分母 为零的点)都是解析函数 解析函数的复合函 为零的点 都是解析函数,解析函数的复合函 都是解析函数 单值)仍是解析函数 数、反函数(单值 仍是解析函数 反函数 单值 仍是解析函数.
4 （）sin z ≤ 1, cos z ≤ 1不成立. 如 e− y + e y e y y→+∞ y > 0 时cos iy = > → ∞ 2 2 ∴ sin z , cos z 无界
iz
-iz
例10
解方程 sin z + cos z = 0
ez + 1 + i = 0
解析函数与调和函数 四 解析函数与调和函数
定义3 定义
; 则称 f (z ) 在z0 解析, 或称 z0 是 f (z )的解析点 , , 若f (z ) 在D内处处解析 则称f (z ) 在D内解析 或称f (z ) 是D内的一个 . 解析函数
如果函数 f (z ) 在 z0 及其某个邻域内处处可 , 导
如果 f (z )在 z0 不解析, 那末称z0为f (z )的奇点.
(4) ( f (z )g (z )) = f ′(z )g (z ) + f (z )g ′(z );
f (z ) g ( z ) f ′( z ) − f ( z ) g ′( z ) ( 5) , g (z ) ≠ 0 ; 2 g (z ) = g (z ) ′
定理4 若函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域 D内解析， 内解析，
内的调和函数。 则它的实部 u( x , y )与虚部 v ( x , y )都是 D内的调和函数。
内解析， 若函数f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y)在区域D内解析，则称 的共轭调和函数。 虚部 v( x, y)为实部 u( x, y)的共轭调和函数。