完整word版,1-1-求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形-…

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为 积分区间取（-T/2，T/2）

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

解答：0000

220

0000

224211()d sin d sin d cos T

T

T T

x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T

T ωT ωπ

====-==⎰⎰⎰

1-3 求指数函数()(0,0)at

x t Ae a t -=>≥的频谱。

解答：

1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

图1-4 周期方波信号波形图

0 t

x (t ) …

…

A

-A

|c n | φn

π/2

-π/2 ω

ω

ω0

ω0 3ω0

5ω0

3ω0

5ω0

2A/π

2A/3π 2A/5π 幅频图

相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0

-3ω0

-5ω0

-ω0 -3ω0

-5ω0 单边指数衰减信号频谱图

f

|X (f )|

A /a

φ(f )

f

π/2

-π/2

0cos ()0

ωt t T x t t T

⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

解：0()()cos(2)x t w t f t =π

w (t )为矩形脉冲信号

所以002211()()()22

j f t

j f t x t w t e w t e -=+ππ

根据频移特性和叠加性得：

可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号0()sin at

x t e

ωt -=的频谱

解答：

所以()

001()2j t j t

at

x t e

e e j

--=-ωω

单边指数衰减信号1()(0,0)at

x t e

a t -=>≥的频谱密度函数为

根据频移特性和叠加性得：

指数衰减信号

x (t )

f X (f )

T

f 0 -f 0

被截断的余弦函数频谱

图1-26 被截断的余弦函数

t

t

T

-T

T -T

x (t )

w (t )

1

1

-1

1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。在这个关系中，函

数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。试求调幅信号0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0m ωω<时将会出现什么情况？

解：0()()cos()x t f t t =ω

所以00

11

(

)()()22

j t j t x t f t e f t e -=

+ωω 根据频移特性和叠加性得：

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。

f

X (f )

ω0

-ω0

矩形调幅信号频谱

图1-27 题1-7图

ω

F (ω)

f (t )

0 t

-ωm

ωm 0

X (ω)

-π

π

φ(ω)

ω

ω

指数衰减信号的频谱图

若0m ωω 将发生混叠。