算术平方根与平方根的概念及性质

第六章实数

专题6 算术平方根与平方根的概念及性质

知识要点

1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术

，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.

2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.

正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.

3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。

4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向

左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.

5.算术平方根的双重非负性

满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。

6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥0

7.两个结论：①

2a = (a ≥0)a =. 典例精析

例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②

2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②1

24；③()232---；④4x

【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.

【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2

525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56

③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；

④因为()22x x =-==x

（2）①因为()

20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；

③因为()2525±=，5=±；④因为()()22

22224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=

，2x ±.

【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.

拓展与变式1 ___________.

拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________

拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.

【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算

例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.

【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.

【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13

m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.

拓展与变式5 已知：()2

1m -=m +n 的值为_________.

拓展与变式6 0=，a 的值为___________

拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.

【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.

例3 ）

A .3与4之间

B . 4与5之间

C . 5与6之间

D . 6与7之间

【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.

所以答案为C

【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.

拓展与变式8 1________3.

拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值

【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破

1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）

A .3±

B .9±

C .3

D .9

（24±34

132=+；④22，其中正确的个数是（ ）

A .0

B .1

C .2

D .3

2.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.

图6-1

（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；

（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.

3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.

4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4