无穷区间上的反常积分简介

例 2
求
0

1
1 x
2
dx.
解
1 0 1 x2 dx

arctan x

0
2
0

2
.
例 3 判断 cos xdx 的 收 敛 性. 0
解
cos xdx sin x .
0
0
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分
发散 .
c f ( x)dx 与
b
f ( x)dx
a
c
都收敛，则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区
间 [a, b] 上的反常积分，记作ab f ( x)dx, 即
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.
的反常积分. 记 作 b f ( x)dx，即 a
b
be
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
e 0 a
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 6 设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c (a, b)
外连续，且 lim f ( x) , 如果下面两个反常积分 xc
穷区间
(-
,
+
)
内的广义积分，记作

f

( x)dx,
即

c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx,


c
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F() lim F(x), F() lim F(x).
p
,
发 散,
当 p 1时， 当 p 1时.
综上所述，得：当 p < 1 时，该反常积分收敛， 其值为 1 ；当 p≥ 1时，该反常积分发散.
1 p
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 F(a ) lim F( x)， x a
F(b ) lim F(x). F(c ) lim F( x) 或 F(c ) lim F( x).
xb
x c
x c
则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为
b f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a )
0 1 x
解
1 dx
1
2 1 x 2.
0 1 x
0
故积分的收敛.
例 8
讨论反常积分
1 dx 0 xp
的 收 敛 性.
解 当 p = 1 时， 则
故积分发散. 当p1时
1 1
0x
dx

ln
x
1 0
.
1
1 dx 1 x1 p
0 xp 1 p
0

1
1
a
b a
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b， 如果极限
b
lim f ( x)dx
a a
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b]
上的广义积分，
记作 b
f
( x)dx,
为曲边的曲边梯形面积为
(0,1)
b exdx 0

e x
b 0

1
1 eb
.
O
y = e-x
b
x
开口曲边梯形的面积
当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积，即
A lim b
b e xdx
a

lim 1 b

1 eb

6.4 无穷区间上的反常积分简介
6.4.1 无穷区间上的反常积分的概念 6.4.2 无穷区间上反常积分计算举例
一、无穷区间上的广义积分
例 1 求由曲线 y = e-x，y 轴及 x 轴所围成开口
曲边梯形的面积.
解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取
b [0, + )，在 有 限 区 间
y
[0, b] 上， 以曲线 y = e- x
例 4 计算 0 xexdx.
解 用分部积分法，得
0 xe xdx 0 xde x xe x 0 0 e xdx



ex 0 1.
其中 lim xex x

lim
x
x ex

lim
x

1 ex
0,
即 xex 0 0.
a
e 0 ae
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 5 设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续，
且 lim f (x) , 取 e > 0 ，如果极限 xb be lim f ( x)dx. e 0 a
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx

a a
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且 对任意实数 c， 如果广义积分
c
f ( x)dx 与

f ( x)dx

c
都收敛，则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无
例 5 判断 dx 的收敛性. e x ln x
解
dx d ln x ln ln x
e x ln x e ln x
e
故该积分发散.
例 6
证明反常积分
1 1 x p dx,
当 p > 1 时，
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 .
证 p = 1 时，则
定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续，
且 lim f (x) , 取 e > 0 ，如果极限 x a b lim f ( x)dx e 0 ae
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上
的反常积分，记作
b
a
f
( x)dx,
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
dx ln x
1x
1
所以该反常积分发散.
p 1 时，则
dx
1 xp
1 x 1 p
1 p
1


1 p1
,当
p
1,
, 当 p 1.
综合上述，当 p > 1 时，该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
二、无界函数的广义积分
a
a
b f ( x)dx F ( x) b F (b ) F (a).
a
a
b
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
a
b c
f
( x)dx

F(x) c a

F
(
x
)
b c
F (c ) F (a) F (b) F (c ).
例 7 判断 1 dx 收 敛 性.
x
x
则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为
a
f
( x)dx

F(x)
a

F()
F (a)，
b f ( x)dx F ( x) b F(b) F()，


f ( x)dx F ( x) F() F().



1.
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y
(0,1) O
y = e-x
b
x
定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，取实 数 b > a，如果极限
b
lim f ( x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分，记作

a
f ( x)dx,
即

b
f ( x)dx lim f ( x)dx.