向量与圆锥曲线
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圆锥曲线
一.向量与圆锥曲线: .OA OM ;,;21型型型OB PQ PB PQ PA PB AP μλλλλ+====
例1.已知B A ,是椭圆1222=+y x 上的两点,并且点)0,2(-N 满足λ=,当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈31,51λ时,求直线AB 斜率的取值范围.
例 2.已知抛物线x y C 4:2
=,过抛物线的焦点F 的直线交C 于B A ,两点,交准线l 于点M ,已知
21,λλ==,求21λλ+.
例3.已知椭圆2
2233b y x =+,斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于B A ,两点,M 为椭圆上任一点,且μλ+=, 求2
2
μλ+.
方法总结:
(1)若能得到21x x λ=, 则构造出两根之和与两根之积得⎩⎨⎧=+=+2
2
212
21)1(x x x x x x λλ消去得λ
λ2
21221)1()(+=
+x x x x ,再利用韦达定理应用; (2)若21,λλ==,则可以用B A ,的横坐标21,x x 或纵坐标21,y y 来表示1λ和2λ,当
1λ和2λ满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;
(3)直线与圆锥曲线相交于B A ,两点,若点M 满足OB μλ+=OA OM ,用B A ,两点的坐标来表示M ,如果M 在曲线上,则将M 的坐标表达式代入曲线方程,如果M 没有在曲线上,则必须把M 的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理.
课后练习:
1.已知定点)0,2(M ,若过点M 的直线l (斜率不为零)与椭圆13
22
=+y x 交于不同的两点F E ,(E 在点F M ,之间),记OMF
OME S S
∆∆=λ, 求实数λ的取值范围.
2.椭圆12322
22=+c
y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ,过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B
A ,两点, 且||2||,//2121
B F A F B F A F =, 求直线AB 的斜率.
3.已知抛物线x y C 4:2
=,过点)2,0(M 的直线l 与抛物线交于B A ,两点,且直线l 与x 轴交于点C ,设βα==,,试问βα+是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.
4.椭圆12
3:2
2=+y x C ,过右焦点F 的直线l 与C 交于B A ,两点,C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立?若存在,求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在, 请说明
理由.
二.面积计算
求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.
例 1.如图,)1,1(M 是抛物线x y C =2
:上一点, B A ,是C 上的两点,线段AB 被直线OM 平分且
)2
1
,1(P , 求ABP ∆面积的最大值.
2.已知直线l 与椭圆122
22=+b
x a y 交于),(),,(2211y x B y x A 两点, 已知),(),,(2211by ax n by ax m ==,
若n m ⊥且椭圆的离心率23
=e , 又椭圆经过点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,23, O 为坐标原点. 试问AOB ∆的面积是否为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.
3.已知菱形ABCD 的顶点C A ,在椭圆432
2=+y x 上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点)1,0(时,求直线AC 的方程; (2)当︒=∠60ABC 时,求菱形ABCD 面积的最大值.
4.如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,
1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,
2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程;
(2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.
三.切线问题
1.如图,设椭圆C:)0(122
22>>=+b a b
y a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ,且点P 在第一象
限.
(1) 已知直线l 的斜率为k ,用,,a b k 表示点P 的坐标;
(2) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直,证明:点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.
2.如图,已知抛物线2
11C 4
x :y=
,圆222C (y 1)1x :,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切,A ,B 为切点.
(1)求点A ,B 的坐标; (2)求PAB ∆的面积.
3.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C :的一个焦点为)0,5(,离心率为35.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若动点),(00y x P 为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.
4.如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为 直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .
(1)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,410AB =,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2
2(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.