信号与系统的状态空间

d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
t


d
21e1
t


rr t cr11t cr22 t crkk t dr1e1t
通

dr2e2 t drmem t
信
与
i t0
r2 t
.
em t
rr t
通
信
与
信
息
系 统
m个输入信号
r个输出信号
学
科 组
1t,2t, ,k t 为系统的k个状态变量。
状态方程
.
信 号 与 系 统
d dt
1t
f11t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
号 与 系
变量），只要知道 t t0时这组变量和 t t0时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0的行为
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统 概
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
论
变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 (的t )各个分量的坐标。 称(为t )
akkk t 2e2 t bkmem
t

组

.
信 号 与 系 统 概 论
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t

d12e2 t d1mem t
r2
t


c211t
系 统 概
求出它的解答。描述系统的方法可分为输入－输出法和状态 变量法。输入—输出法也称为端口法，它主要关心的是激励
论 （输入）与响应（输出）之间的关系。前面几章所讨论的时
域分析和变换域分析都属于输入－输出法。由于输入－输出
法只将系统的输入变量和输出变量联系起来，它不便于研究
与系统内部情况有关的各种问题（譬如，系统的可观测性、
系 统
•基本模型为系统函数，着重运用频率响
概
应特性的概念。
论
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代；
通 •卡尔曼(R.E.Kalman)引入；
信 与
•利用状态变量描述系统的内部特性；
信
息 系
•运用于多输入－多输出系统；
统 学
•用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来
科 组
描述系统 。
三．状态变量分析法优点
.
信
号 与
(1)提供了系统的内部特性以供研究；
系 统
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
概
数值计算；
论
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
通
信
与 信
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
息
系
统
学
科
组
四．名词定义
.
信
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
通 信
状态矢量。
与 信
状态空间：状态矢量 (t )所在的空间。
息
系 统
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化
学 科
而描出的路径称为状态轨迹。
组
.
信 §8.1 连续时间系统状态方程的建
号 与 系
立 状态变量
统 概
用来描述网络中一状态随时间变化
论
的变量，称之为状态变量。
状态方程
描述了系统状态变量的一阶导数与
通
输出方程
信
与 信 息 系 统 学 科 组
r1t h11t, 2 t, , k t;e1t, e2t, , em t,t r2 t h21t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t rr t hr 1t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t
d dt
2
t


a211t a222 t b21e1 t b22e2

t
a2kk t b2mem t

通 信 与 信 息 系 统 学 科


d dt
k
t


ak11 t

ak22 t bk1e1t bk
信
息
系
统
学
科
组
表示为矢量矩阵形式
.
信 号 与 系
状态方程
d d t
t k1

Akkλ
k1 t
Bkmem1 t
通 信
可控制性等）。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系
与 信
统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行
息 系
研究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这就需
统 学
要以内部变量为基础的状态变量分析法。
科
组
一．输入－输出法（端口法）
.
信 号
•研究单输入－单输出系统；
与
•着眼于系统的外部特性；
.
信 第八章 状态方程
号 与
引言
系 统
§8.1 连续时间系统状态方程的建立
概
论
§8.2 连续时间系统状态方程的求解
§8.3 离散时间系统状态方程的建立
通
§8.4 离散时间系统状态方程的求解
信
与
信 息
§8.5 状态矢量的线性变换
系
统
学 科
§ 8.6 系统的可控制性与可观测性
组
.
信
引言
号
与
系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学模型并
如果系统是线性时不变的，则状态方程和输
出方程是状态变量和输入信号的线性组合，
.
信 号
即：
与 系 统 概

d dt
1
t


a111 t a122 b11e1t
t b12e2 t
a1k

k t
b1mem
t

论

, em t,t
d dt
2 t
f21t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
概 论

d dt
k t
fk 1t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
通 信 与
状态变量和激励关系的一阶微分方程，
信 息
称为状态方程。
系
统
学
科
组
一．状态方程的一般形式和建立方法概述
.
信
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号
号
的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程
与 系
表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即
统 概 论
e1 t
r1 t
e2 t
. .