第五章 第3节定积分的换元法和分部积分法

Φ( β ) = F (ϕ ( β )) = F (b )
dF dx = f ( x )ϕ ′( t ) = f [ϕ( t )]ϕ′( t ), Φ ′( t ) = ⋅ dx dt 的一个原函数. ∴ Φ (t ) 是 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数
3
∴ ∫ f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt = Φ( β ) − Φ(α ),
5 π 4 2 − (sin x )2 = . 5 5 π 2
9
2 π
3 2
2
2 = (sin x ) 5
0
例７
计算
∫e
3 e4
dx . x ln x (1 − ln x )
3 e4
解
原式 = ∫
e
d (ln x ) ln x (1 − ln x )
3 e4
=∫
3 e4
e
d (ln x ) = 2∫ ln x (1 − ln x )
∴∫
π
0
sin 3 x − sin 5 xdx = ∫ cos x (sin x ) dx
0 3 2 π 3 2
π
3 2
= ∫ cos x (sin x ) dx − ∫π cos x (sin x ) dx =∫
π 2 0 π 2 0
(sin x )
5 2
3 2
π 2
d sin x − ∫π (sin x ) d sin x
2
= 4 ∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
= 4 − π.
1
1
1 − x 2 dx
单位圆的面积
15
上连续， 例 12 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明 （1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ; ） 0 0 π 证 （1）设 x = − t ⇒ dx = − dt , ） 2 π x = 0 ⇒ t = , x = π ⇒ t = 0, 2 2 π 0 π − t dt 2 ∫0 f (sin x )dx = − ∫π2 f sin 2
x = 0 ⇒ t = π,
x = π ⇒ t = 0,
0 π
∫0 xf (sin x )dx
π 0
π
= − ∫ ( π − t ) f [sin( π − t )]dt
= ∫ ( π − t ) f (sin t )dt ,
17
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
在∫
0 −a
a
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x = − t ,
12
∫−a f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0
a 0
0
0
a
f ( − t )dt ,
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ),
如∫ cos x sin xdx = −
2
π
5
0
∫
π
2
Байду номын сангаас
0
π 1 cos xd cos x = − cos 6 x 2 = 0 6
5
1 6
7
例4
∫
4
0
2 4 d ( 2 x + 1) dx = ∫ 0 2x +1 2x +1
1 = ( 2 x + 1) 1 − +1 2
1 − +1 2 4
= 2 × (3 − 1) = 4
3 e4
e
d ln x 1 − ( ln x )2
= 2[arcsin( ln x )]
e
π = . 6
10
1 dx . (a > 0) 例８ 计算 ∫0 2 2 x+ a − x dx = a cos tdt , 解 令 x = a sin t , π x = a ⇒ t = , x = 0 ⇒ t = 0, 2 π
0
20
a
例15 设f ( x )在[a , b]上连续 , 在(a , b )内可导, 且 f ′( x ) < M , 及f (a ) = 0, 试证
2 M≥ (a − b) 2
x
∫
b
a
f ( x )dx
x
证明 : Q f ( x ) − f (a ) = ∫ f ′( t )dt , 而f ( a ) = 0, a
5
例2. 计算
∫
4
0
t 2 −1 解: 令 t = 2x +1, 则 x = , dx = t dt 2 且当 x = 0 时 t =1, x = 4时 t = 3
∴ 原式 =
x +2 dx . 2x +1
∫
t 2 −1 3 2
1
+2 t dt t
1 3 2 = ∫ (t +3) dt 2 1
3 22 1 1 3 = ( t +3 t ) = 2 3 3 1
π 2 π 2
= ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx;
0 0
16
π 2
π 2
( 2)
∫
π
0
xf (sin x )dx =
π
∫ 2
π
0
f (sin x )dx
由此计算
证明 :
∫
π
0
x sin x dx 2 1 + cos x
设 x = π − t ⇒ dx = − dt ,
0
a
∴∫
a+l
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx 与a无关. 0
l
19
例14 设f ( x )在[0,2a ](a > 0)上连续, 证明 :
∫
2a
0
f ( x )dx = ∫ [ f ( x ) + f ( 2a − x )]dx
0
a
证明 :Q ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx 0 0 a
α
β
= F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]
= F (b) − F (a),
即∫ f ( x )dx = F (b ) − F (a ) = ∫ f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
a
α
b
β
注意 : 1、当α > β时,换元公式仍成立; 换元公式仍成立
２、换元要换限。 换元要换限。
0 l a+l
证明 :
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫
a 0 l
f ( x )dx
而∫
a +l
l
f ( x )dx =
令x = t + l
∫
a
0
f ( t + l )dt = ∫ f ( t )dt
0 0 a
a
= ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
2
2 0
= 2(tan
π
4
− tan 0) = 2
14
例11
计算
∫−1
1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1− x
1 x cos x 2x dx dx + ∫−1 2 2 1+ 1− x 1+ 1− x
2
解 原式 = ∫−1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 − 1 − x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1− x 1 − (1 − x )
11
π cos t 1 2 dt = ∫ sin t + cos t 2 0
上连续， 例 9 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = 2∫0
证
a 0
a
a
f ( x )dx ；
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
0
例5
∫
2 2
dx x x −1
2
=∫
2 2
dx x
2
= −∫
2 2
1 d( ) x 1 2 1− ( ) x
1 2 1− ( ) x
2
1 = − arcsin = − π + π = π x 2 6 4 12
8
例６ 解
计算
∫0
π
sin 3 x − sin 5 xdx .
3 5
3 2
Q f ( x ) = sin x − sin x = cos x (sin x )
∴ 只要证明∫
2a a
2a
a
2a
f ( x )dx = ∫ f ( 2a − x )dx
0
a
令t = 2a − x a a 2a ∴ ∫ f ( 2a − x )dx = − ∫ f ( t )dx = ∫ f ( x )dx 0 2a a
∴∫
2a 0
f ( x )dx = ∫ [ f ( x ) + f ( 2a − x )]dx
0 0
π
π
= π ∫ f (sin x )dx − ∫ xf (sin x )dx , 0 0 π π π ∴ ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0
π
π
∫0
π
x sin x π π sin x dx = ∫ dx 2 2 2 0 1 + cos x 1 + cos x
13
x sin x dx 如 ∫ 4 2 2 −5 ( x − 2 x + 3)
5
2
=0
例10
1 sin x ∫−π2 1 + cos x (1 + x 4 + 1)dx
2
π
= 2∫
= 2∫
π
π
2 0
1 1 2 dx dx = 2∫0 2 x 1 + cos x 2 cos
π
π
2 0
x x d ( ) = 2 tan 2 2 x 2 cos 2 1
4
例1. 计算
∫
a
0
a − x dx (a > 0).
2 2
解: 令 x = a sint , 则 dx = a cos t dt , 且当 x = 0 时 t = 0, x = a 时 t = π
2
2
∴ 原式 = a
∫
π
2
2
cos t dt
(1+cos 2t )dt
2
0
π
2
a = 2
∫
0
π π a2 a2 1 = ( t + sin2t ) 2 = 4 2 2 0
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
= 2 ∫0 f ( t )dt ;
a
a
f ( x )dx
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 f ( − t ) = − f ( t ),
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
a
0
a
f ( x )dx = 0.
a
原式 = ∫
π 2 0
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
1 + cos t − sin t dt =∫ sin t + cos t π π 1 π 1 2 = . = ⋅ + [ln sin t + cos t ] 0 4 2 2 2
∴ f ( x ) = ∫ f ′( t )dt
a
∴ ∫ f ( x )dx =
a
b
∫ [∫
a
b
x
a
f ′( t )dt ]dx ≤
∫ [∫
a
b
x
a
f ′( t ) dt ]dx
∴M ≥
M 2 ≤ M ( x − a )dx = (b − a ) a 2 b 问题 : 2
∫
b
(a − b )
2
∫
a
f ( x )dx
6
例３ 解
计算 ∫0 cos x sin xdx .
5
π 2
令 t = cos x , dt = − sin xdx , π x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0, 2 π 2 5 ∫ cos x sin xdx
0
1 t = − ∫1 t dt = = . 60 6
0 5
6 1
3、不换元就不换限。 不换元就不换限。
第三节 定积分的换元法 和分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结
1
一、换元公式
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
能否用中值定理证明 ? 21
二、分部积分公式
设函数 u( x ) 、v ( x ) 在区间[a, b ]上具有连续 导数， 导数，则有 ∫a udv = [uv ] − ∫a vdu .
b b a b
定积分的分部积分公式 推导
Q (uv ) = u′v + uv ′,
∴ ∫ ( uv )′dx = ∫ u′vdx + ∫ uv ′dx ,
1 π π π π d (cos x ) = − [arctan(cos x )]0 =− ∫ 0 1 + cos 2 x 2 2 π2 π π π = − (− − ) = . 4 2 4 4
18
例13
设f ( x )是以l为周期的周期函数 , 证明
∫
Q∫
a+l a
a+l
a
f ( x )dx的值与 无关. 的值与a
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
2
b
β
证
的一个原函数， 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 ，
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a ),
令Φ( t ) = F [ϕ ( t )],
b
则 Φ(α ) = F (ϕ (α )) = F (a ),