3-应变分析ppt课件

1 2
( u1 x3
u3 x1
)
1 (u2
u3
)
2 x3 x2
u3
2 x1 x3 2 x2 x3
x3
u
x
1 2
( v x
u y
)
1
2
( w x
u z
)
1 (u v) 2 y x
v y 1 (w v) 2 y z
1 2
( u z
w x
)
1 2
( v z
w y
)
w
z
δuidxi 0 dxiui, jdx j 0
x
展开
z
u A1
A
P u P1
O
y
u1 x1
dx1dx1
u2 x2
dx2dx2
u3 x3
dx3dx3
( u1 x2
+
u2 x1
)dx1dx2
( u2 x3
+
u3 x2
)dx2dx3
( u3 x1
+
u1 x3
)dx3dx1
0
4
由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即
u1 u2 u3 0 x1 x2 x3
满足此条件的相对位移张 量称为相对刚体位移张量
u1 + u2 u2 + u3 u3 + u1 0 或转动张量 x2 x1 x3 x2 x1 x3
所以
u1 x1
u1 x2
u1 x3
0
u1 x2
u1 x3
ui, j
u2
x1
u2 x2
u2
x
u x
综合之
xy
yx
v x
u y
zx
xz
u z
w x
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v z
zx
xz
u z
w x
此方程组表明了应变与 位移的关系，称为几何 方程或Cauchy方程
对比应变张量各分量，可见 10
11
x
u x
22
y
v y
33
z
w z
12
21
由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质
一. 任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变
1.设一点的应变状态为ij ，则该点任意方向N (l1 , l2 , l3) 正应变
其中第二项
0
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
1 2 (ui, j
u j,i )
1
(
u2
2 x1
u1 ) x2
1ห้องสมุดไป่ตู้
( u3
u1 )
2 x1 x3
0 1 (u3 u2 ) 2 x2 x3
1 2
( u1 x3
u3 x1
)
1 (u2
u3
)
2 x3 x2
0
与 ij 对比，即等于转动张量
第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生
的相对位移张量。称为应变张量，记为 ij 。
6
11 ij 21
31
12 22 32
13
23
33
u1 x1
1
(
u2
2 x1
1
( u3
u1 ) x2 u1 )
1 ( u1 u2 ) 2 x2 x1
u2 x2 1 (u3 u2 )
位移分量为 ui(x dx, y dy, z dz)
A
P u P1
两点间的位移（矢量）差 ui ui ui
O
y
x
将 ui(x dx, y dy, z dz) 在 P(x, y, z) 处展开，并忽略高阶项，则
u u u dx u dy u dz x y z
v v v dx v dy v dz x y z
1 2
xy
1
2
v x
u y
13
31
1 2
xz
1 2
w x
u z
23
32
1
2
yz
1
2
w y
v z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述
几何方程可表示为
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
11
§3-3 应变张量的性质
Oy
由正应变的定义
vt
t
t
t
s s
P
ws
s
Pv
vs
dy
y
y
(dy
vs dy
v)
dy
v y
z
(dz
wt dz
w) dz
w z
由切应变的定义
yz
zy
s
t
tan s
tan t
ws dy
w
vt dz
v
w v
y z
9
若向xy平面投影同理可得
x
u x
y
v y
若向zx平面投影同理可得
z
w z
第三章 应变分析
§3-1 相对位移张量和应变张量 §3-2 几何方程——Cauchy方程 §3-3 应变张量的性质 §3-4 变形协调方程 §3-5 位移边界条件
1
§3-1 相对位移张量和应变张量
一. 一点的相对位移张量
z
u A1
设 P(x, y, z)点的位移分量为ui (x, y, z) 相邻一点 A(x dx, y dy, z dz)
u1
x3 x2
0
u2 x3
ij
u3
u3
u3
u1
u2
0
x1 x2 x3 x3 x3
ui, j u j,i 相对刚体位移张量为反对称张量，并记为 ij 5
三. 应变张量
将相对位移张量分解为对称和反对称张量为
1
1
ui, j 2 (ui, j u j,i ) 2 (ui, j u j,i )
ij ji 应变张量是对称张量
7
§3-2 几何方程——Cauchy方程
建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义
考察P点，分别沿 x、y、z正向引三正 交线元 r、s、t 变形后P点移动到P´点 三线元的长度和相对夹角也发生变化
将三线元变形前后的位置分别向三坐 标面投影，建立其应变和位移的关系
投影引起的误差为高阶微量
t
z
t
s
P
r s rP
O
y
x
以向yz平面投影分析为例
8
设P点的坐标为 y、z
s、t 的长度为dy、dz
z
点P到P 的位移为 v、w
wt
s点到s 的位移为 vs 、ws
vs
v
v y
dy
ws
w
w y
dy
dz
w
t点到t 的位移为 vt 、wt
z
vt
v
v dz z
wt
w
w dz z
u3 x2
u3
x3
w
x
w y
w
z
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移；
相对位移张量一般为非对称张量。
3
二. 转动张量
设 PA ds , P1A1 ds1 若为刚体位移，则 ds ds1
(ds)2 (dx1)2 (dx2 )2 (dx3)2 dxidxi (ds1)2 (dxi +δui )(dxi +δui ) dxidxi 2δuidxi
ui ui ui, j dx j
w w w dx w dy w dz
x y z
2
ui ui, j dx j ui, j 称为P点的相对位移张量
u1 x1
u1 x2
u1 x3
u
x
u y
u
z
ui, j
u2
x1
u2 x2
u2 x3
v x
v y
v
z
u3
x1