第七章 离散数学课件 图论-2nd

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v3
v4
v7 v 6
v 1
v2
v5
由结点集合{v1,v2,v3},{v4},{v5},{v6}和 {v7}形成的诱导子图都是强分图;由结点集合{v1, v2,v3,v4,v5},{v7,v4,v5}和{v6,v5}所成 的诱导子图都是单向分图;由结点集合{v1,v2, v3,v4,v5,v6,v7}形成的诱导子图是弱分图.
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子图和分支
例:
v3 e2 v2 e1 e3 v1
e4
v4 e5 v5
v6 e6
有4个强分支,即 {v1 , v2 , v3},{e1 , e2 , e3},{e1 , v1 , v2 ,
e2 , v2 , v3 , e3 , v3 , v1 } , {v4 }, , , {v5 }, , , {v6 }, ,
注意:在无向图中,若从v1可达v2,则从v2必可达v1; 而在有向图中,从v1可达v2不能保证从v2必可达v1.
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可达性
定理:设v1和v2是图G的结点,从v1可达v2,当且仅 当存在从v1至v2的基本路径. 证明:如果从v1到v2的路径是基本路径,则命题为 真,否则如果从v1到v2的路径不是基本路径,则至 少有一个结点,不仿设为vk,在链路中反复出现, 即经过vk有一路径Pk,于是可去掉Pk中出现的边,对链 路中的其它结点仿此处理,最终得到的就是从结点 v1可达结点v2的基本路径.
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前例资源分配图
r3
p4 p3 p4 p 1 r1 p2 p2
r4
r2
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割集
有时删除一个结点和它所关联的边,就产生带有比 原图更多的连通分支的子图.把这样的结点称为割 点. 有时删除一条边,就产生带有比原图更多的连通分 支的子图,把这样的边叫做割边或者桥.
a d f g
b
c
e
h
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每个结点恰处于一个强分支中,而边 e4 , e5 , e6 不 在任何强分支中.G有两个单向分支,即G {v6 } 和 G[{v5 , v6 }].显然,v5 处于两个单向分支中,G 只有一个弱分支,即其本身.
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子图和分支
注意: 无向图的每个结点和每条边都恰在一个连 通分支中;有向图中,并不是每个边都恰 在一个强分支中. 在简单有向图中,每个结点每条边都恰在 一个弱分支中. 在简单有向图中,每个结点每条边至少位 于一个单项分支中.
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分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
(a)
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
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子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
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路径
注意: 单独一个结点v也是路径,它是长度为0的基本路径. 因此,任何结点到其自身总存在路径. 在无向图中,若从结点v至结点v'存在路径,则从v'至 v必存在路径.而在有向图中,从结点v至v'结点存在 路径,而从v'至v却不一定存在路径.
= 设路径 P1 v0e1v1 vn1en vn= vn e '1 v '1 v 'm1 e 'm v 'm, 和 P1 用P1P2记路径 v0e1v1 vn 1en vn e '1 v '1 v 'm1 e 'm v 'm
图的概念 度的概念 子图 图的运算与同构
7.3路径,回路和连通性
v 定义: 设n为自然数,0 , v1 , , vn 是图G的结点,, v e1,e2,…,en是图G的边,并且vi 1 和 i 分别是ei的起点 = ( 和终点,i 1, 2, , n) 则称序列v0 e1v1e2 vn 1en vn 为图G 中从v0至vn的路径,n称为该路径的长度.如果v0=vn , 则称该路径是闭的,否则称该路径是开的.
有向图G中的路径一定是G'中的半路径,但G'中的 半路径未必是G中的路径. 有向图中的半路径是路径,当且仅当该路径 中的边都是正向边.
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循环
循环:把闭路径叫做循环;把没有重复边的闭路径 叫做简单循环;把没有重复点的闭路径叫做基本循 环(也叫做回路或圈.)
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回路
定义:连通2度正则图称为回路.基础图是回路的 有向图,称为半回路.每个结点的出度和入度均为 1的弱连通有向图,称为有向回路.回路(半回路, 有向回路)中边的条数称为回路的长度.
(1)G的极大强连通子图称为G的强分支. (2)G的极大单向连通子图称为G的单向分支. (3)G的极大弱连同子图称为G的弱分支.
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子图和分支
定理:连通无向图恰有一个分支.非连通无向图有 一个以上分支. 定理:强连通(单向连通,弱连通)有向图恰有一 个强分支(单向分支,弱分支);非强连通(非单 向连通,非弱连通)有向图有一个以上强分支(单 向分支,弱分支).
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资源分配图
下面给出简单有向图的一个应用——资源分配图. 在多道程序的计算机系统中,可以同时执行多个 程序.实际上,程序共享计算机系统中的资源, 如磁带机,磁盘设备,CPU,主存贮器和编译程 序等.操作系统对这些资源负责分配给各个程序. 当一个程序要求使用某种资源,它要发出请求, 操作系统必须保证这一请求得到满足.
v1 e4 v4 e3
(a)
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
a是有向回路,b和c是半回路.在a中,闭路 径 v1e1v2 e2 v3e3v4 e4 v1 包含了该有向回路的所有结 点和边.
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回路
定理:设v是图G的任意结点,G是回路或有向回路, 当且仅当G的阶与边数相等,并且在G中存在这样一 条从v到v的闭路径,使得除了v在该闭路径中出现两 次外,其余结点和每条边都在该闭路径上恰出现一 次. 证:充分性是显然的,只证必要性.
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死锁状态
对资源的请求可能发生冲突.如程序A控 制着资源r1,请求资源r2;但程序B控制着 资源r2,请求资源r1.这种情况称为处于 死锁状态.然而冲突的请求必须解决,资 源分配图有助发现和纠正死锁.
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假设条件
假设某一程序对一些资源的请求,在该程 序运行完之前必须都得到满足.在请求的 时间里,被请求的资源是不能利用的,程 序控制着可利用的资源,但对不可利用的 资源则必须等待.
另外,如果从路径 v1 gv3cv3中去掉 闭路径 v3cv3 就得到基本路径 v1 gv3 .
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路径
例:分析下列有向图
a
1 1
g
h
2
b
4
c
d
f k
3
e
在该有向图中,c 4b1c 4 是路径,但不是简单路 1 径; 1a1c 4 是简单路径,但不是基本路径. 从 1a1c 4 中去掉闭路径1a1就得到基本路径1a4. 可以看出,从2至1存在多条路径,但从1至2没 有路径.
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路径
定理: 设v和v'是图G中的结点.如果存在从v至v'的 路径,则存在从v至v'的基本路径. 证:设当从v至v'存在长度小于l的路径时,从v至v' 必存在基本路径. = , vl 如果存在路径 v0 e1v1 vl 1el vl ,其中 v0 v= v′,并且 有i和j满足0 ≤ i ≤ j ≤ l 且 vi = v j ,则 v0e1v1 vi e j +1v j +1 vl 1el vl 是从v至v'的长度为l-j+i的路径.根据归纳假设,存 在从v至v'的基本路径.
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连通图
定义:如果无向图的任意两个结点都互相可达,则 称G是连通的;否则称G是非连通的,也称分离的. 对于无向图G来说,不难证明结点间的可达性 是结点集合上的等价关系.因此它将结点集合 给出一个划分,并且划分中的每个元素形成一 个诱导子图;两结点之间是可达的当且仅当它 们属于同一个子图,称这种子图为图G的连通 分图,也叫分支,图G的连通分图的个数,记 为ω(G).
有向图的基础图即为把每条有向边改为无向边而得到 的无向图.
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连通图
定义:设G是有向图. (1)如果G中任意两个结点都互相可达,则称G是强 连通的. (2)如果对于G的任意两结点,必有一个结点可达另 一个结点,则称G是单向连通的. (3)如果G的基础图是连通的,则称G是弱连通的.
v1 e4 v4 e3
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分析(续)
例如,令Rt={r1,r2,r3,r4},Qt={p1,p2,p3, p4}.资源分配状态是: p1占用资源r4且请求资源r1, p2占用资源r1且请求资源r2和r3, p3占用资源r2且请求资源r3, p4占用资源r3且请求资源r1和r4, 于是,可得到资源分配图Gt=<Rt,E>如图16.2.7所 示. 能够证明,在时刻t计算机系统处于死锁状态 iff资源分配图Gt中包含强连通图.
如果 e1 , e2 , , en 互不相同,则称该路径为简单路径. 如果 v0 , v1 , , vn 互不相同,则称该路径是基本路径.
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路径
例:分析下列无向图 v1 v 在该无向图中, 2bv3 dv4 ev2bv3 是路 g a 径,但不是简单路径; c v2 v bv cv dv v3 b 2 3 3 4是简单路径,但不是 e f 基本路径; d h v4 v5 v3cv3cv3 是闭路径,但不是简单闭 路径.
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路径
定理:n阶图中的基本路径的长度小于n.
证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
半路径
V , E , 的基础图,G'中的路 定义:设G'是有向图 G =ψ 径称为G中的半路径.设 v0 e1v1e2 …vm 1em vm是G中的半 vi 1 , i 路径,如果对于 1 ≤ i ≤ m,有 (ei ) = v,则称ei是该 半路径中的正向边;如果 ψ (ei ) = vi , vi 1 ,则ei称是该 半路径中的反向边.
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@dlut.edu.cn zkchen00@hotmail.com
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路径
路径可以表示很多图模型中的有用信息: 熟人关系图中的通路(最小世界原理) 合作图中的通路(数学家的埃德斯数) 好莱坞图中的通路(演员的培根数(著名演员凯文. 培根))
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可达性
定义:设v1和v2是图G的结点.如果在G中存在从v1 至v2的路径,则称在G中从v1可达v2,否则称在G中 从v1不可达v2.对于图G的结点,用R(v)表示从v可达 的全体结点的集合.
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连通图
v4
d
c
g
k
v3
v 1 (a)
h a b e (b) f
Fra Baidu bibliotekv2
V , E , 无向图G =ψ 是连通的,当且仅当对于任 R 意v ∈ V , (v) = V .
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连通图
由于可达性的非对称性,有向图的连通概念要复杂 得多,这里需要用到基础图的概念.
V , E , 定义:设有向图G =ψ ,定义 ′ : E → {{v1 , v2 } v1 ∈V ∧ v2 ∈V } 如下: v1 , 对任意 e ∈ E 和 v1 , v2 ∈V ,若 (e) =v2 , V , E ,ψ 则 ′(e) = {v1 , v2 },称无向图 G′ = '为有向 图G的基础图.