排序不等式

2.设0<a≤b≤c且abc=1. 试求
1 1 1 的最小值. 3 3 3 a b c b a c c a b 1 1 1 ， 3 3 3 a b c b a c c a b
2 2
【解析】令S=
2
abc abc abc 则S 3 3 3 a b c b a c c a b
类型一
利用排序不等式求最值
a b c ab bc ca
【典例】设a,b,c为任意正数,求 的最小值.
【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键 是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱 序和≤顺序和求解最小值.
【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,
1.使用排序不等式的关键是什么?
提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列 数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小?
提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,
乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31,
2.排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, a1bn+a2bn-1+…+anb1 …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_________________ a1b1+a2b2+…+anbn ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.
4.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,
它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,
我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序 排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原
理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
bc ac ab bc ac ab. a b c b a c c a b
2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( A.ax+cy+bz B.bx+ay+cz
)
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z, 由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.
3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b＋b c＋c a 的最大值是_________.
1 ca a bc a bc
1 ≥ bc
≥
+
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1 ,由排序不等式得, ab c b + ≥ b + c ab ca ca bc b + c ≥ c + a ab ca ca bc
+
+
a ab b ab
上述两式相加得: 2 (
a bc
+
b + c )≥3,即 a bc ca a b
三
排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,
c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
a1b1+a2b2+…+anbn (1)顺序和:________________. a1c1+a2c2+…+ancn (2)乱序和:________________. a1bn+a2bn-1+…+anb1 (3)反序和:_________________.
的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单 的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序
了.
2.排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两
乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积
之和最小.
3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即
【解析】因为a,b,c≥0,
不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2, a b c, 则 a b b c c a a a b b c c，
当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3, 所以a=b=c=1,
于是 a b＋b c＋c a 的最大值为3.
答案:3
【知识探究】 探究点 排序不等式
S=1×5+2×6+3×4=29,
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32.
由以上计算知S1<S<S2,
所以顺序和最大,反序和最小.
【归纳总结】 1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的
问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分 为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同
a bc
+
b ca
+
c ab
≥
2
3 2
.
当且仅当a=b=c时,
+
b ca
+
c ab
取最小值 3 .
【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧 求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利
用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一
个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.
【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28
【即时小测】 1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系
是
(
)
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.