平面向量中的最值问题1

平面向量中的最值问题

1．求向量的模的最值或取值范围．

2．求平面向量的夹角的最值或取值范围．

3．求平面向量数量积的最值或取值范围．

【复习指导】

本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围．

基础梳理

求最值的方法小结

㈠．几何方法

⑴．平面几何方法：

两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值

⑵．解析几何方法

利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值；

先求轨迹，后求最值

㈡．代数方法

⑴．函数方法：

首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解；

⑵．利用基本不等式求解；

⑶．利用三角函数求解．

双基自测

㈠．求模的最值或范围

1．平几法求最值

【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3

π

，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -的最小值为________．23

练习1．⑴．(全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602

a b a b a c b c ==⋅=-<-->=，则||c 的最大值等于________．

【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=，

60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为

直径时，||c 最大，最大值为2．

⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________．

①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥-

解法一：由||||a te a e -≥-知，22

||||a te a e -≥-，即222

||2||21a ta e t a a e -⋅+≥-⋅+，化简得，

22(1)1t a e t -⋅≤-，当1t ≤时，即212a e t ⋅≥+≤恒成立，故1a e ⋅≥；当1t >时，即

212a e t ⋅≤+>，故1a e ⋅≤．故1a e ⋅=，故③成立．

解法二：22(1)1t a e t -⋅≤-，即2

2210t a et a e -⋅+⋅-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ∆=⋅-

840a e ⋅+≤，即1a e ⋅=，故③成立．

解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-．

【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是___________．

解法一：由()()0a c b c -⋅-=可得，2

||()||||cos c a b c a b c θ=+⋅=+(其中θ为a b +与c 的夹

角)，即||()||cos 2cos 2c a b c a b θθ=+⋅=+=≤,故||c 的最大值是2．

解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=，

故,,,O A B C 四点共圆，故||c 最大为圆的直径为2．

练习2．(08浙江)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是 ________ ．

解法一：由()0b a b ⋅-=得，2||0b a b ⋅-=，即2

||||cos ||0b a b θ-=，故||cos b θ=，即||b 的

取值范围是[0,1]．

解法二：也可以借助于几何意义求解，当0b =时，||0b =；当a b =时，||1b =．当0b ≠且a b ≠时，b 与a b -互相垂直，0||1b <<，即||b 的取值范围是[0,1]．

2．代数法求最值

⑴．通过线性运算求最值

【例3】已知G 为ABC ∆的重心，若120A =，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值为 ．

解：由120A =，2AB AC ⋅=-得，||||4AB AC =，由平几知识可知，1

()3

AG AB AC =

+，故2222211114

||[()][()](||2||)(||||)33999AG AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC =+⋅+=+⋅+=+-

14844(2||||)99999AB AC ≥-=-=，即||AG 的最小值为2

3

，不等式当且仅当||||2AB AC ==时取得最小值2

3

．

练习3．(10浙江)已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足：||1β=，并且α与βα-的夹角为120，

则||α的取值范围是____________．

解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四

则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题． 解法一：易知在ABC ∆中，60,1ABC AC ∠==．设ACB ϕ∠=，由正弦定理得，

||||

sin sin 60

αβϕ=

，

故||

33a ϕϕ=

=≤

||a 的取值范围是． 解法二：由正弦定理得，

OAC

OC

OCA OA ∠=∠sin sin ，即||1sin sin 60OCA α=∠︒，故

1||sin sin

sin 60OCA OCA α=⨯∠=∠︒，因为︒<∠<︒1200OCA ，故1sin 0≤∠