八年级数学上册全等三角形总复习课件人教版

例5：如图，在△ABC 中，AD⊥ ： BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E， AD、CE交于点H，请你添加一个适 当的条件： BE=EH △AEH≌△CEB。 ，使
例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 ：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD 已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证： < ( AB + AC ) 已知：如图， 是 的中线，求证： 2 证明： 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD＝CD 又 ∵ DE＝AD ∠ADC = ∠EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD < ( AB + AC ) 2
B A ND P M F C
E PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距 ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距
离相等). 离相等). 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全 ：如图，已知， ∥ ， ， 。
等三角形？请任选一对给予证明。 等三角形？请任选一对给予证明。 E
答：
D
△ABC≌△DEF ≌
证明： ∵ AB∥DE ∥
A F C B ∴ ∠A=∠D ∠ ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 和 中 AC=DF ∠A=∠D ∠ AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS） ≌ ）
C 3 A E 4 D 1 2 B
解：AC=AD
理由： 理由：在△EBC和△EBD中 和 中
∠1=∠2 ∠ ∠3=∠4 ∠ EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ≌ ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 和 中 AB=AB ∠1=∠2 ∠ BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ≌ ∴ AC=AD
1.角平分线的性质： 角平分线的性质： 角平分线的性质
2.角平分线的判定： 角平分线的判定： 角平分线的判定
到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上） 离相等的点在角的平分线上）
知识点
3.三角形全等的证题思路： 三角形全等的证题思路： 三角形全等的证题思路
找夹角 → SAS 找另一边 → SSS ① 已知两边 找直角 → HL 边为角的对边 → 找任一角 → AAS 找夹角的另一边 → SAS ② 已知一边一角 边为角的邻边找边的对角 → AAS
A
B
P27
P27
P27
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 ：如图，已知， ∥ ，请你从下面三个条件中， 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 只写出一种情况） （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： 已知： EG∥AF ∥ 求证： 求证： A
B
D
C
E
1.已知 ＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、 已知BD＝ ， 已知 ＝ ， 、 DF分别垂直于 及AC交延长线于 、F， 分别垂直于AB及 交延长线于 交延长线于E、 ， 分别垂直于 求证： ＝ 求证：DE＝DF
证明：∵∠ 证明：∵∠ABD＝∠ACD（已知） ＝ （ ∴∠EBD＝∠FCD（ 等角的补角相等） ∴∠ ＝ （ 又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知） ⊥ ， ⊥ （已知） ∴∠E＝ ∴∠ ＝∠F＝900（垂直的定义 ） ＝ 在△DEB和△DFC中 和 中 ∵ ∠E = ∠F (已证) ∠EBD＝∠FCD（已证） BD＝CD（已知） ∴△DEB≌△DFC（AAS） ≌ （ ∴DE＝DF（ 全等三角形的对应边相等） ＝ （
3.如图，已知△ 的外角∠ 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相 如图
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角
的 两边距离相等）. 两边距离相等） 又∵点F在∠CBD的平分线上，
E 3 B 4 （第18题） C F
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点 ，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF 的延长线于E，求证：BC垂直且平分 DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
找夹边 → ASA ③已知两角 找任一边 → AAS
找夹角的另一角 → ASA
角的平分线： 二.角的平分线： 角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知） ∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两
边的距离相等） 边的距离相等）
例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC， ： 垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) D A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
已知： 例3. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. ⊥ ， ⊥ ， 求证： 求证：BC=AD.
D A
C B
例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
求证： 的平分线上． 交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 ∴FG＝FH（等量代换） ∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B ： =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判 定△ABE≌△ACD的是( ) B A．AD=AE C．BE=CD B． ∠AEB=∠ADC D．AB=AC
知识点
1.全等三角形的性质 全等三角形的性质: 全等三角形的性质 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定 全等三角形的判定: 全等三角形的判定 ①一般三角形全等的判定： 一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定： 直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL
课堂练习
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
证明： Q ∴
又Q AF = CE
AE = CF
∴
又Q
∴ ∴ ∴
BE ∥ DF ∠1 = ∠ 2
BE = DF
∆ AEB ≌ ∆ CFD ∠A = ∠C AB ∥CD
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 、如图： 中 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， 平分∠ ， ⊥ 交 于 ， BC=30，BD：CD=3：2，则 ， ： ： ， DE= 12 。 c
7.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 要证明两条线段的和与一条线段 时常用的两种方法： 相等时常用的两种方法 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 、可在长线段上截取与 长线段上截取 中一条相等的一段， 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 余的线段与另一条线段相等。 （割） 2、把一个三角形移到另一位置， 、把一个三角形移到另一位置， 移到另一位置 两线段补成一条线段， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补） 它与长线段相等。（补 长线段相等。（
A G F D H C E
B
百度文库
13.已知：如图21，AD平分 13.已知：如图21，AD平分 已知 21 BAC，DE⊥AB于 DF⊥AC于 ∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于 DB=DC， F，DB=DC， 求证： 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 1):要正确区分“对应边” 1):要正确区分 对边” 对角”的不同含义； 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 ）：表示两个三角形全等时， 表示两个三角形全等时 字母要写在对应的位置上； 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 ）：要记住“有三个角对应相等” 要记住 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 公共角” （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 ）：时刻注意图形中的隐含条件， 时刻注意图形中的隐含条件 公共边” 对顶角” “公共边”、“对顶角”
D
A
E
B
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 ，C，D在一条 已知， 都是等边三角形， 已知 和 都是等边三角形 且点B， ， 在一条 直线上求证： 直线上求证：BE=AD E 证明： 证明 ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 和 都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∠ ° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE ∠ ∠ 即∠BCE=∠DCA ∠ 在△ACD和△BCE中 和 中 AC=BC ∠BCE=∠DCA ∠ DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ≌ ∴ BE=AD B C D A
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 BM是 的角平分线, ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 的角平分线 BM上 BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E ⊥ 于 ， ⊥ 于
E B C G D F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
F E D
A B C
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上 ，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点 F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，② ，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式 A ：如果……那么……）（1） D 1 2 ；（2） ；
变式：以上条件不变， 变式：以上条件不变，将
绕点C旋转一定角度 △ABC绕点 旋转一定角度 绕点 大于零度而小于六十度）， （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？ 以上的结论海成立吗？
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ：如图，已知 在 上 ∠ ， 等于AD吗 为什么？ ∠3=∠4，那么 等于 吗？为什么？ ∠ ，那么AC等于