绳子拉船问题

绳子拉船问题的理解和求解

一、绳子拉船问题的理解

1．绳子拉船问题

如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定

滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动

绳子的速度大小为V，则当绳子OA和水平面的夹角为θ时，

小船运动的速度为多大。

2．常见错误及原因分析

对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直

和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的

速度，就是绳子沿水平方向的分速度，

即V船=Vcosθ（1）

造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动和分运动，错误地认为和船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子A端和船相连，它的实际运动和小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。

3．常规解法

如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边

的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，

绳子绕定滑轮O顺时针转动。因此，可将绳A端（或小船）水平

向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3

所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳

子的速度大小V，故小船运动的速度为（2）

1．功能原理法

设定滑轮的质量、滑轮和轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉绳和绳拉船的时

间相同，则有，即P人= P船（3）

设人对绳子的拉力为F，则绳对船的拉力大小也为F，根据功率的计算公式P=FVcosα，有

P人= F·V （4）

P 船 = F ·V 船cos θ （5）

联立（3）、（4）、（5）式可得

类型题： 绳联物体的速度分解问题

【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳和水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

★分析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得

θ

θcos cos 01

v v v A ==

。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图所示，当绳和水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有

θcos x L ∆=∆，两边同除以△t 得：

θcos t

x

t L ∆∆=∆∆ 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：

θ

cos 0

v v A =

v 0

A C

B ∆x

∆L θ v 0

θ

A

总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以

θ

cos 0

v v A =

。 评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出θcos 0v v A =的错误结果；②当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参和了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。

【例题】如图所示，在高为H 的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀的速度v 0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A 处向右行走距离s 到达B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？

★分析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。 [全解]设人运动到B 点时，绳和地面的夹角为θ。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：θcos 0v 。物体的运动速度和沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为

2

2

00cos h

s s v v v +=

=θ。

物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，

h h s h s

d -+=-=22cos θ

。

h

v 0

s

B

A

s

答案：2

20h s s v v +=

，h h s d -+=

22

[小结]分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参和了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动

【例题】如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳和竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？

★分析：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v ′运动，如图所示，由图可知，v ′＝v ·cos θ． 【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ BD ）

A ．

B A v v = B ．B A v v >

C ．B A v v <

D ．重物B 的速度逐渐增大

【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆和槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？

★分析：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一

m

v

θ

M

v A

v B

θ

A B

a