自由落体和竖直上抛运动

t1- t2=0.5s 解得 t1 =0.8s L=2.75m
A
L
H=3.2m
B
C
练习1： 一个物体从塔顶落下，在到达地面前最后一 秒内通过的位移为整个位移的9/25，求塔高 （g=10m/s2）。
【错解】因为物体从塔顶落下，做自由落体运动。
解得H=13.9m
【错解原因】物体从塔顶落下时，对整个过程而言是 初速为零的匀加速直线运动。而对部分最后一秒内物 体的运动则不能视为初速为零的匀加速直线运动。因 为最后一秒内的初始时刻物体具有一定的初速，由于 对整体和部分的关系不清，导致物理规律用错，形成 错解。 【分析解得】根据题意画出运动草图，如图所示。 物体从塔顶落到地面所经历时间为t，通过的位移为H 物体在t—1秒内的位移为h。因为V0=0
，跟上例的竖直上抛运动类似，小球的运动以最高
点C为对称，
SAC
1 2
gtA 2 2
2
SAB
1 2
gtB 2 2
2
SAB
1 2
g 2
tA 2
2
1 2
g 2
tB 2
2
g 16
tA2
tB2
C
B A
例7．如图示，长L＝1米的中空圆筒B竖立在场面上， 在它的正上方悬挂长1米的细杆A，A的上端距B的下 端10m;在剪断A悬线的同时B以v0＝20m/s的速度向上 抛出，设它们在空中运动始终保持竖直状态并不相碰， 求：相遇时A穿过B用多少时间？
∴2L=V相t
∴t=
2L 2 0.1(s) V相 20
解题时引入相对位移，相对速度，相对加速度，会
使问题简化，便于求解.基础好，概念清楚的同学可以
引用.
练习3： 气球以10m/s的速度匀速竖直上升，从气球 上掉下一个物体，经17s到达地面。求物体刚脱离气球 时气球的高度。（g=10m/s2）
【错解】物体从气球上掉下来到达地面这段距离即 为物体脱离气球时，气球的高度。
A →B 竖直下抛运动 vB -vA =g×1 ∴vB =30m/s O →B 自由落体运动 ∴ h= vB2/2g=45 m
h （t-1）s
ts A
25m 1s
B
解五： 自由落体运动第一秒下落的位移为
hⅠ=1/2g × 1= 5m
O
由自由落体运动的比例关系
hⅠ﹕hⅡ﹕h Ⅲ﹕… = 1 ﹕ 3﹕ 5﹕ …
高点C点下方一个比较低的A点的时间间隔为TA，两 次经过最高点下方一个比较高的B点的时间间隔为TB ， 试求AB之间的距离。
解： 画出运动示意图如图示：
C
由竖直上抛运动的对称性
BB
C →A 自由落体运动 t1 = TA / 2 hCA= =1/2×g t12 =1/8 ×g TA2
C →B自由落体运动 t2 = TB / 2 hCB= =1/2×g t22 =1/8 ×g TB2
可将物体的运动过程视为匀变速直线运动。规定 向下方向为正，则V0=-10m/s，g=10m/s2 据h＝v0t+
＝1275m
∴物体刚掉下时离地1275m。
例8、在地面上以初速度 3v0 竖直上抛一物体A后， 又以初速度 v0 在同一地点竖直上抛另一物体B，若要 使两物在空中相遇，则抛出两个物体的时间间隔必 须满足什么条件？（不计空气阻力）
2. 性质：初速度为v0、加速度为g 、竖直向下的 匀加速运动。
3. 规律： vt= v0+gt h= v0t + 1/2 gt2 vt2-v02 = 2gh
例1、一个物体从高度h处自由下落,测得物体落地前最 后1秒内下落了25米,求：物体下落的高度h. (g取10m/s2)
解一：画出运动示意图，设落地总时间为t, 则依题意，
错解原因】由于学生对惯性定律理解不深刻，导致对 题中的隐含条件即物体离开气球时具有向上的初速度 视而不见。误认为v0=0。实际物体随气球匀速上升 时，物体具有向上10m/s的速度当物体离开气球时， 由于惯性物体继续向上运动一段距离，在重力作用下 做匀变速直线运动。
【分析解答】本题既可以用整体处理的方法也可以分 段处理。
一、自由落体运动
1.概念：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动.
2. 性质：初速度为0、加速度为g 的匀加速运动。
3. 规律：vt=gt h=1/2 gt2 vt2 =2gh 4.匀加速运动的所有比例关系都适用自由落体运动。
要充分利用初速度为零的特点
二.竖直上抛运动
1.定义：不计空气阻力，以一定的初速度竖直向上抛 出的物体的运动叫做竖直上抛运动 。
(3)上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向
(4)上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和 下降时间相等
5.特点——以最高点对称
6.竖直上抛运动的处理方法
①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自 由落体运动两个过程研究 上升阶段可以看成初速度为V0，末速度为0，加速度 为－g的匀减速直线运动，下降阶段可以看成是自由落 体运动。
分析：剪断绳后A做自由下滑，同时B以v0竖直上抛， 可求出它们相遇的时间t
1 2g2t(v0t1 2g2t)H2
t=0.4(s) 此时A的速度vA＝gt
vA 1 0 0 .4 4 m /s
B的速度vB＝v0－gt
v B 2 1 0 0 0 .4 1m /6 s
上做若匀以速A为直参线照运物动，；它B相们对的A相的对速位度移v相为＝22 0m/s B向
（t-1）s
h
=5 ﹕ 15﹕ 25﹕ …
tA
∴ t=3s h=5+15+25=45m
25m
解六： 由自由落体运动的速度图线 ，
1s
B
梯形面积等于最后1s内的位移，
ab=g(t-1) cd=gt bc= 1s
v/ms-1
d
25=1/2 ×[gt+g(t-1)] ×1
a
∴ t=3s h=1/2×gt2=45m 0
力，g取10m/s2 ) ( A C D ) A. 1s B. 2s C. 3s D. (2 7)s 解：画出运动示意图，
15m v0 A
15m
由竖直上抛运动规律 h=v0 t-1/2 gt2 C
15=20t-5t2 ∴t1=1s 或 t2=3s
-15=20t-5t2 t3 (2 7)s
例6、一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过最
AA v0
∴ hAB= hCA - hCB = 1/8 ×g （ TA2 -TB2）
练习2、一个小球在倾角为30°的光滑斜面底端受到
一个冲击后,沿斜面向上做匀减速运动，它两次经过
一个较低点A的时间间隔为tA，两次经过一个较高点 B的时间间隔为tB ，试求A、B之间的距离。
解：在光滑斜面上小球运动的加速度恒为gsin 30°
解一：画出运动示意图如图示：C为上升的最高点
B到C，竖直上抛运动：
h1=v0 2/2g=5m t 1= v0 /g=1s C到A，自由落体运动
源自文库
h1
+h=1/2×g
t
2 2
t2
2(1hh) g
212 55s 10
t= t1 + t 2=6s
vt=gt2 = 50m/s
C
v0 h1
B
h= 120m
A
解二： B→C→A 整个过程， 由竖直上抛运动规律：
A
t= h/v0 < tA
∴v0 >10m/s
h1
（2） B球的上升时间 t上=v0 /g
若要使B球在上升阶段与A球相遇,必须有
t < t上
即 h/v0 < v0 /g
h=20m
v0 gh 102m/s
（3）B球在空中运动的总时间 t总=2v0 /g
SBC=1/2 gt2 2 = 45m
SAC= SBC- hm = 20-45 = - 25m
C
负号表示5秒末物体的位置C在A点下方25m vt
vt= gt2 =30m/s 方向向下
解二： 画出运动示意图如图示： B
A → B →C 全过程综合考虑， 匀减速运动，
S= v0 t -1/2 gt 2
由①②③解得H=125m
例3、在楼房的阳台外以初速度20m/s竖直上抛一 物体，求抛出5秒末物体的位移和速度。
B 解一： 画出运动示意图如图示：
A →B 匀减速运动，
上升时间 t上=v0 ／g = 2s 上升的最大高度 hm= v02／2g =20 m
v0 A A1
B → C 自由落体运动 t2 =3s
②整体法：从整个过程看，利用匀减速运动规律来处理.
从整体来看，运动全过程中加速度与初速度V0方向 始终相反，大小不变，因此可以把竖直上抛运动看做 是一个统一的匀变速直线运动，
③对称法：在竖直上抛运动中，速度、时间都具有对 称性，分析问题时，请注意利用对称性.
三. 竖直下抛运动
1.定义：不计空气阻力，以一定的初速度竖直向下 抛出的物体的运动叫做竖直下抛运动 。
=20×5 - 1/2 ×10 ×25 = -25m
v0
负号表示5秒末物体的位置C在A点下方25m A A1
vt= v0 - gt =20-10 ×5= -30m/s
负号表示方向向下
C
vt
解三： 画出运动示意图如图示：
A →B 竖直上抛运动 （匀减速运动），
B
上升时间 t上=v0 ／g = 2s
A →B →A1 ，竖直上抛运动以最高点对称 t上= t下= 2s
由自由落体运动规律得
O到B h=1/2×gt2
(1)
O
O到A h-25 = 1/2× g(t-1)2 (2)
解得 t=3s, h=45m
解二：A→B 由竖直下抛运动规律
hAB = vA× 1 +1/2× g×12 = 25 ∴ vA= 20m/s O到A 由自由落体运动规律得 h-25 = vA2 / 2g=20m ∴h=45m
b c t/s
t -1 t
例2、一铁链其上端悬挂于某一点，将悬点放开让铁 链自由下落，不计空气阻力，已知铁链通过悬点下 3.2m的一点所经历的时间为0.5s，试求铁链的长度L. (g取10m/s2 )
解：画出运动示意图如图示：由自由落体运动的规律
A点通过C点的时间为t1 H=1/2×gt12
B点通过C点的时间为t2 H-L=1/2×gt22
2. 性质：上升阶段做匀减速运动，下落阶段做自由 落 体运动。可以分段考虑，也可以用匀减速运动的 规律综合考虑。
3.运动规律： （a=-g）
速度公式vt=v0-gt 位移公式h=v0t-gt2/2
4.推论：
vt2-v02=2gh
(1)上升的最大高度hmax=v02/2g
(2)上升到最大高度需时间及从最高点落回抛出点 的时间: t上=t下=v0/g
v0
vA1= 20m/s 方向向下
A A1
A1 →C 竖直下抛运动（匀减速运动） t3=1s
SA1C= vA1 t3+ 1/2 gt3 2
C
= 20 × 1+1/2 × 10 × 1 = 25m
vt
vt= vA1 +gt3 =20+10 × 1=30m/s 方向向下
例4：气球以10m/s的速度竖直上升，到离地120米高 处掉下一物，求物体落地的速度及运动的时间。
（2）若要使B球在上升阶段与A球相遇，则初速度v0必 须满足什么条件？
（3）若要使B球在下落阶段与A球相遇，则初速度v0必 须满足什么条件？
解: h1=1/2×gt2
h2=v0 t-1/2×gt2
h= h1 +h2= v0 t
∴ t= h/v0
A球下落的总时间为 tA 2hg 40102s
（1）若要使两球在空中相遇，必须有
h= vA t -1/2 gt 2 vt= v0 - gt
即 -120 = 10 t -1/2 gt 2
vt= 10 - gt
解得 t = 6s
vt = - 50 m/s
C
v0 h1
B
h= 120m
A
例5. 某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s 的速度竖直上抛一个石块，石块运动到离 B
抛出点15米处所经历的时间是：（不计阻
h （t-1）s
ts A
25m 1s
B
解三：O →A 自由落体运动 vA =g（t –1）
O →B 自由落体运动 vB =gt
h=1/2×gt2
A →B 竖直下抛运动 vB2- vA2 =2g×25 O
g 2 t 2- g 2 （t –1）2 =2g×25
解出 t=3s, h=45m
解四： A →B 平均速度为 （vA+vB）/ 2 =25
解： 第一个物体A在空中运动的总时间t1=6v0/g 第二个物体B在空中运动的总时间t2=2v0/g
若B物体刚抛出时，A物体已刚落地，则Δt1= 6v0 /g
若B物体刚抛出时，两物体同时落地，则Δt2= 4v0 /g
∴4v0 /g ＜ Δt ＜6v0 /g
例9、在离地20m高处有一小球A做自由落体运动，A球 由静止释放的同时，在其正下方地面上有另一个小球B 以初速度 v0 竖直上抛， （不计空气阻力，g=10m/s2） （1）若要使两球在空中相遇，则B球上抛的初速度v0 必须满足什么条件？