圆锥曲线与方程教材分析

第二章圆锥曲线与方程教材分析

为了更好的把握圆锥曲线与方程这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对圆锥曲线与方程这部分内容的整体定位如下：

“在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。”

一、内容与课程学习目标

（1）圆锥曲线：① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

（2）曲线与方程：结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

二、内容安排

本章包括4节，约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：

2 1 曲线与方

程约2课时

2 2 椭圆约4课时

2 3 双曲线约3课时

2 4 抛物线约2课时

小结

约2课时

三、教学要求

在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。

教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。

椭圆及其标准方程教学首先从探究活动开始：

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么？(圆)，如果把两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？

讨论：这个环节，是为了更好的体现探究性，在传统教材的基础上，先设置了细绳的

两端都固定在图板的同一点处的情况，实际的教学应怎样操作？

有这么几种：①教师自己演示（用自作的教具或《几何画板》），学生观察②教师课前要求所有的学生都自带学具到课堂上进行操作，③教师带教具，让学生到台前进行操作，其他同学观察。

椭圆与抛物线的简单几何性质是指：

椭圆：范围、对称性、顶点和刻画椭圆的扁平程度的概念--离心率（定义性概念）抛物线：范围、对称性、顶点和离心率（定义性概念）

例如：判断方程 6x2+10y2=60所描述的曲线是什么曲线？如果是椭圆请写出其标准方程并写出焦点、顶点坐标和离心率.

在这样的题目中我们不能再增加“并写出准线方程”一问.

双曲线的的有关性质是指：范围、对称性、顶点、渐近线和离心率（定义性概念）圆锥曲线的参数方程在这里不作要求，不必引入教学，对它们的学习将在选修系列4《坐标系与参数方程》中学习.

用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题仅限于直线与圆锥曲线的位置关系.解决实际问题也是初步利用圆锥曲线模型.

曲线与方程

例如：如果命题“坐标满足方程F（x,y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么，以下正确的命题是（）

A、坐标满足方程F（x,y）=0的点都不在曲线C上

B、曲线C上点坐的标都满足方程F（x,y）=0

C、一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F（x,y）=0

D、坐标满足方程F（x,y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

虽然这是一个很好的既复习逻辑内容又欲帮助学生理解曲线与方程关系的题目.我们认为在这里提出不太适宜，虽然学生在必修部分的《数学2 》的直线和方程、圆与方程，也学习了圆锥曲线方程，有了一定的感性认识，因为本题给出的是抽象的曲线和方程，太抽象，不利于实现《课程标准》提出的：“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.”的要求.使学生经过内化，对曲线和方程的关系从具体到一般，形成一个更加系统、完整的认识。

四、重、难点的分析

教学重点是：①经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.理解坐标法的基本思想.

②了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及有关性质

③经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质.

④掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率e

⑤能用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系.

⑥了解曲线的方程与方程的曲线的概念，使学生体会曲线与方程的对应关系，通过解决简单的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想.

教学难点是：①椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用

②双曲线的标准方程推导与化简

③理解曲线的方程与方程的曲线的概念；曲线与方程的对应关系；求曲线方程

第1课时 §2.1.1曲线与方程

（一）教学目标

1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.

2．会判定一个点是否在已知曲线上.

（二）教学重点与难点

重点：曲线和方程的概念；

难点：曲线和方程概念的理解

（三）教学过程

Ⅰ.复习回顾

师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.

Ⅱ.讲授新课

1．曲线与方程关系举例：

师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方

程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，

它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方

程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，

那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.

（如图）

又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆

的方程是222)()(r b y a x =-+-。这就是说，如果),(00y x M 是

圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即

r b y a x =-+-2020)()(，

也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过

来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。（如右图）.

2．曲线与方程概念

一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线