第七节 抛物线

第七节 抛物线

A 组 基础题组

1.以x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( ) A.y=4x 2

B.y=8x 2

C.y 2

=4x

D.y 2

=8x

2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F 为抛物线C:y 2

=4x 的焦点,曲线y=k

x (k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.1

2

B.1

C.3

2

D.2

3.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8

4.已知抛物线y 2

=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1

B.x=2

C.x=-1

D.x=-2

5.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )

A.y 2

=4x 或y 2

=8x B.y 2

=2x 或y 2

=8x C.y 2

=4x 或y 2

=16x D.y 2

=2x 或y 2

=16x

6.抛物线y 2

=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为 .

7.已知抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线的方程;

(2)若过M 作MN ⊥FA,垂足为N,求点N 的坐标.

8.已知圆C 过定点F (-1

4,0),且与直线x=1

4相切,圆心C 的轨迹为E,曲线E 与直线l:y=k(x+1)(k ∈R)相交于A,B 两点. (1)求曲线E 的方程;

(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.

B 组 提升题组

9.设F 为抛物线y 2

=2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|FA

⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知抛物线C:y 2

=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ

⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72 B.3 C.5

2 D.2

11.已知抛物线y 2

=4x,圆F:(x-1)2

+y 2

=1,过点F 作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中,正确的是( )

A.等于1

B.等于4

C.最小值是1

D.最大值是4

12.(2016吉林长春一模)过抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则|AF|

|BF|

的值等于( )

A.1

3

B.2

3

C.3

4

D.4

3

13.(2017安徽师大附中模拟)如图,已知抛物线的方程为x 2

=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l 与抛物线相交于P,Q 两点,点B 的坐标为(0,1),连接BP,BQ,直线QB,BP 与x 轴分别交于M,N.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 等于 .

14.已知抛物线y 2

=2x 的弦AB 的中点的横坐标为3

2,则|AB|的最大值为 .

15.经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,如果A,B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1,B 1,那么∠A 1FB 1= .

16.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1. (1)求p 的值;

(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.