定积分的应用

3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
y x2
y x3 6x
注：有时，将x与y交换角色，可将问题简化。
13
例 3 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2,2), (8,4).
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4]
定积分定义
4
4.1 建立积分表达式的微元法 1、什么问题可以用定积分解决 ? 2、如何应用定积分解决问题 ?
5
1、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 Q 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) Q 对区间 [a , b] 具有可加性 ,即整体量=局部量之和 即可通过 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 表示为
8a2 3 1 3 a2
422 2
20
2、立体的体积
(１) 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
21
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线
x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴
旋转一周而成的立体，体积为多少？
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
y x
A1
2 a2 cos 2
19
例 6 求心形线 r a(1 cos )所围平面图形
的面积(a 0).
解 利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
d
a2 4cos4 d
0
2
令
t
2
8a2 2 cos4t d t 0
15
例4
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
当 a = b 时得圆面积公式
17
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（3） 极坐标情形
求由曲线
及
在区间
围成的曲边扇形的面积 . 上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
d A 1 ( ) 2 d
2 所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2( )d 2
x
18
例 5 求双纽线r 2 a2 cos 2 所围平面图形的
面积.
解 由对称性知总面积=4倍 第一象限部分面积
2
第4节 定积分的应用 4.1 建立积分表达式的微元法 4.2 定积分在几何上的应用 4.3 定积分在物理上的应用
3
在第1节中，我们从3个实例引入了定 积分的概念.这3个实例是：
曲边梯形的面积 物质细棒的质量
b
A a f ( x)dx
l
m 0 ( x)dx
变速直线运动中的位移 s T2 v(t)dt T1
y x3 6x
y
x2
y x2
y x3 6x
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], x3 6x x2 (2) x [0,3], x2 x3 6x.
12
A 3 | x3 6 x x2 | dx 2 0 ( x3 6 x x2 )dx 2
定积分定义
6
2、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“分割 , 近似代替” 求出局部量的
近似值
微分表达式
dQ f (x)d x
第二步 利用“求和, 取极限 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
Q a f (x) d x
这种分析方法称为微元法 (或微元分析法也称元素法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
y x2
选 x 为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x2 )dx
1
A 0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
11
例 2 计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成
的图形的面积.
解 两曲线的交点
dA y 4 y2 dy
2
A dA 42 18.
14
（2）参数方程的情形
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x
y
(t) (t)
,
t [t1, t2 ]
曲边梯形的面积 A
b
ydx
t2
(
b
)
(
t
)
(t
)dt
.
a
t1 (a )
在[t1,t2]上 x (t )具有连续导数且'(t ) 0， y (t)连续.
2
1
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
9
y y f (x)
y g(x)
a
o
x xdx
b
x
dA f ( x) g( x) dx
b
A a | f ( x) g( x) | dx
10
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
7
4.2 定积分在几何上的应用
1、 平面图形的面积
直角坐标系 参数方程
极坐标系
旋转体 2、立体的体积 平行截面面积已知的立体
8
1、 平面图形的面积
(1)、直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
y f1( x)
o a x x xb x
o a x x xb x
面积元素 : dA f ( x)dx dA [ f ( x) f ( x)]dx.
成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 d x 0
取积分变量为x ，x [a,b]
考虑[x, x dx]
V b [ f ( x)]2d x a
y y f (x) o a x x dx b x
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V d [( y)]2dy c
（小圆柱体法）
d
y x (y) c
ox
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例7 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2012年12月27日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第4节 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用