高三第一轮复习函数的奇偶性课件

1 1 x f ( x ) log2 . x 1 x
所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任
意x ,
有f ( x )
所以f(x)是奇函数.
1 1 x 1 1 x log2 ( log2 ) f ( x ), x 1 x x 1 x
函数；
②两个偶函数的和、积是_________ 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 奇函数
题型分类
题型一 函数奇偶性的判断
深度剖析
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
1 x ; (1) f ( x) lg 1 x (2)f ( x ) ( x 1) 1 x . 1 x
4-x2≥0 ∵ |x+3|≠3,
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
【例2】判断下面函数的奇偶性
思维启迪 求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1) 上的单调性. 解
x 0, 1 x x须 满 足1 x 由 0, 得 1 x 1. 0, 1 x 1 x
2.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1, f ( x2 ) f ( x1 ) x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 0, 则（ x2 x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)
）
3.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]时,
函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的
(-2,0)∪(2,5) 取值集合为______________.
解析
由原函数是奇函数,所以
y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐 标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上
的图象，得它在[-5，0]上的图
二 函数奇偶性的应用
1.函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R), 若f（a）=2，则f（-a）的值为 A.3 解析 B.0 C.-1 D.-2 （ B ）
设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，
∴g（a）Fra Baidu bibliotek1，
∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
1 b 2x 1 即 0, 解 得b 1.从 而 有 f ( x ) x 1 . 2a 2 a 1 1 2 1 又 由f (1) f ( 1)知 2 , 解 得a 2. 4a 1 a
x 2 1 1 1 (2)由(1)知 f ( x ) x . x 1 2 2 2 2 1 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.
（3）即是奇函数又是偶函数的函数具有什么特征？
3.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 相同
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______( 相反 填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________, 奇函数 两个奇函数的积是偶
知能迁移1 解
4 x2 判断函数f(x)= 的奇偶性. | x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
4 x2 4 x2 f ( x) . x 3 3 x 4 ( x )2 4 x2 又f ( x ) , x x
函数的奇偶性
要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
f（-x）=f（x） ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 有_______________
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=-f（x） ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 有_______________ 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考察定义域是否关于______ 原点 对称；
（2）考察表达式f（-x）与f（x）的关系
直接考察f(-x)与f(x)的正负关系。 考察f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)与0的关系。 考察f(x)/f(-x)与1或-1的关系。 若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既
象,如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集 合为(-2,0)∪(2,5).
函数单调性与奇偶性的综合问题
x 2 【例5】已知定义域为R的函数f(x)= x 1 b 2 a
是奇函数.
(1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒
成立,求k的取值范围.
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).
因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.
1 . 从而判别式Δ =4+12k<0,解得k< 3
思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否 关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等 或相反.
解
(1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
1 x 1 x 1 又f ( x) lg lg( ) 1 x 1 x 1 x lg f ( x), 1 x 故原函数是奇函数. 1 x (2) ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
探究提高 件:
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条
一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是
有利的;
二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数))是否成立.