微分中值定理

则在(a,b)内至少有一点 (a b)使得f ( ) 0
三、洛尔（Rolle）定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导; 3. f (a) f (b);
则在(a,b)内至少有一点 (a b)使得f ( ) 0
分析: 由 1 f (x)在[a,b]内有最大值M和最小值m 由 3 M m中至少有一个不等于f (a),不妨设m f (a), 则 (a,b),使得f ( ) m
则在(a,b)内至少有一点 (a b)
使得f ( ) f (b) f (a)
ba
分析：
y
l
C
A
0
a
k f (b) f (a)
B
ba
b
x
四、拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导;
则在(a,b)内至少有一点 (a b) 使得f ( ) f (b) f (a)
一、回顾
二、费马（Fermat）引理
设 f (x)在点x0的某个邻域U (x0, )内有定义,且满足:
1. f (x)在x0点可导;
2.对x U (x0, ),有f (x) f (x0 ) (或 f (x) f (x0) );
则: f (x0 ) 0
y
y
f (x0 ) 0
0
x0
x0
f (x0 ) 0
ba
分析：构造函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) ba
由 1 2 可知：F(x)满足Rolle定理
(a,b),使得F( ) 0即：f ( ) f (b) f (a)
ba
五、三个重要结论
1.有限增量公式
y f (x x)x (0 1)
x0
x
一、回顾
二、费马（Fermat）引理
设 f (x)在点x0的某个邻域U (x0, )内有定义,且满足:
1. f (x)在x0点可导;
Байду номын сангаас
2.对x U (x0, ),有f (x) f (x0 ) (或 f (x) f (x0) );
则: f (x0 ) 0
分析 :
f
( x0
)
0
lim
x x0
x [a,b], f (x) f () m
综上述,结合 2 由Fermat引理可得：f ( ) 0
y
C
l
f (a)
A
B
0
a
b
x
y
l
C
A
0
a
k f (b) f (a)
B
ba
b
x
四、拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导;
2.若f (x)在区间I上导数恒为零则f (x)在区间I上恒为常数 即：f (x) 0 f (x) C(C为常数）
3.若f (x), g(x)在(a,b)内满足：f (x) g(x) 则:在(a,b)内有f (x) g(x) C(C为常数)
即: 此时f (x)与g(x)只相差一常数
例 证明：当x 0时, x ln(1 x) x 1 x
f (x) f (x0 ) x x0
0
由 1 f (x0 ) A
由
2
在x0左侧附近 在x0右侧附近
f(x)-f(x x x0
f(x)-f(x x x0
0 0
) )
0 0
f
( x0 )
0
y
C
l
f (a)
A
B
0
a
b
x
三、洛尔（Rolle）定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导; 3. f (a) f (b);