现代信号处理课件之空间谱估计(空域MUSIC算法)概要

投影矩阵
Ps S S, S
1
S H SS H (称SS H 为信号子空间)
1
PG G G, G
G H GG H (称GG H 为噪声子空间)
来自百度文库
14
空间谱估计
正交投影矩阵
H
Ps I Ps
SH UU S, G H SS H GG H I G
九、 空间谱估计
1.阵列信号处理简介（array signal processing)



虽然早在1978年就已在军用通信系统中使用了自适应天线，但在民用 的蜂窝式通信中使用天线阵列却只是在1990年才开始的。 近20年来，阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信、雷 达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。 阵列信号处理的最重要应用包括： ①信（号）源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至距离 （若信源位于近场）； ②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向 到达阵列，这一事实使得这些信号波形得以分离，即使它们在时域和 频域是叠加的。 ③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数（多径参数）。 阵列信号处理的主要问题包括：波束形成技术-使阵列方向图的主瓣 指向所需的方向；零点形成技术-使天线的零点对准干扰方向；空间 谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。
GG H I SS H I S S, S
1
S H Ps
噪声子空间是信号子空间的正交补，
几何意义：信号子空间和噪声子空间正交
15
空间谱估计
4. MUSIC 方法
Rxx U UH U S G
R xx APA H 2I R xxG APA H G 2G 2G APA H G 0 G H APA H G 0 A H G 0 (t H Rt 0 iff t 0) a H (i )G oT (行向量) a H (i )GG H a(i ) 0 标量
特征值分解后，与大特征值对应
与小特征值对应
13
空间谱估计
子空间的几何意义：
U S, G
H H H S S S S G H U U H S, G H I H G G S G G
SH S I p , GH G Im p , GH S 0, SH G 0
,p ,m
按特征值大小，将U分为两部分：
U S | G u1,, u p | u p1,, um


子空间：向量组 a1 ,, a p 线性组合的集合，称为 a1 ,, a p
张成的空间。

信号S

噪声G


span a1 ,
p , a p j a j , j C j 1
加权求和
输出信号 z(n) 只包含 xd (n) 期望信号 拒绝其它信号 干扰信号
最小输出能量(MOE:minimum output energy)准则：
则 其中
1 N

n 1
N
z (n) min
2
1 N 2 ˆ w min z (n) min w H R xx N n 1 N 1 ˆ x( n) x H ( n) R xx N n 1
(2) 远场(far field): 波前－平面波
i
1 d 2 3
－波长
i 2
d
·
4
…
d /2
m

sin i
（半波长条件）：若不满足该条件，会出现DOA估计 的模糊
2
si (n)
1
si (n)e ji
2
P个信号
si (n)e j ( m1)i
m
信号 si (n) 的方向向量，(阵列响应)向量：

2

Largange乘子法：
J(w )=E z (n) 其中
1 w a( ) E z ( n) w R w
2 H k 2 H xx
J(w ) 1 0 w R opt xx a( k ) * w H 又 w opt a( k ) 1 a H ( k )w opt 代入上式
m p p p pm
特征值分解：
UH R xxU Σ
即
U H APA H U 2I Σ
2 11
2 pp
0
2 I 0
11
空间谱估计
2 aii 2 , i 1, R xx 的特征值：i 2 , i p 1,






满秩矩阵（非奇异）
9


虽然早在1978年就已在军用通信系统中使用了自适应天线，但在民用 的蜂窝式通信中使用天线阵列却只是在1990年才开始的。 近20年来，阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信、雷 达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。 阵列信号处理的最重要应用包括： ①信（号）源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至距离 （若信源位于近场）； ②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向 到达阵列，这一事实使得这些信号波形得以分离，即使它们在时域和 频域是叠加的。 ③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数（多径参数）。 阵列信号处理的主要问题包括：波束形成技术-使阵列方向图的主瓣 指向所需的方向；零点形成技术-使天线的零点对准干扰方向；空间 谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。
空间谱估计
R xx E x(n )x H (n ) E A ( )s( n ) e( n ) A( ) s( n) e( n)

H

A( ) E s( n )s H ( n ) A H ( ) E e( n)e H ( n) APA H 2I
z (n) w x(n) w, x(n) wi* xi (n)
H i 1
m
5
5
空间谱估计
1 N 2 ˆ w lim min z (n) min w H R xx N N n1
x(n) A( )s(n) e(n) a(k ) sk (n)
i 1,i k
已知数据向量 x(1)，...,x( N ) ，求空间参数 1，..., p
N个快拍 波达方向
4
空间谱估计 空间谱估计
3. 最优波束形成器（最小方差谱估计）
DOA 估计：波束形成器 设计一个滤波器
z (n) wi* xi (n)
i 1 m
w1 ,, wm 抽头(权系数)
N 2 1 N 1 N H 2 H 1 H z ( n ) w x ( n ) w x ( n ) x ( n ) N w N n 1 N n 1 n 1
作为比较, 这里重新给出MV谱估计结果：
PMV () 1 （最小方差谱) 1 aH ()R a ( ) p
17
功率谱估计应用应用:MUSIC方法恢复谐波\功率谱应用于雷达动目 标检测\功率谱估计应用于3G移动通信
雷达回波信号功率谱
我们想检测一个运动目标，但是该目标到雷达的路径上的建筑 物、海浪、云雾等引起杂波信号，因此雷达接受的回波信号，包 括来自运动目标的信号和杂波的信号。 而此时，杂波电平往往比运动目标的回波电平高很多，运动 目标回波“淹没”在杂波中，从时域分开已经不可能了。

1 1 a H ( k )R xx a( k )
7
空间谱估计
wopt
1 R xx a(ωk ) H (最佳滤波器) 1 a (ωk )R xxa(ωk )
由capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR : minimum variance distortionless response )波束形成器
a(i ) 1, e
ji
,..., e
j ( m 1)i

T
Vandermonde矩阵
A( ) a(1 ),..., a( p ) 1 j1 e 满列秩 e j ( m 1)1 1 2 ... p
1 SH R xxG U U G S, G G 2 H I G 1 0 2 S, G G 2 I I
H
即
R xxG G
2
16
空间谱估计
MUSIC空间谱：
P( )
12
空间谱估计
信号子空间： span s1,, s p span u1,, u p
噪声子空间：span g1,, g p span u p1,, um 观测空间： span x(1),, x( N ) span u1 ,, um 观测空间＝信号子空间＋噪声子空间
噪声子空间方法
1 1 a H ( )GGH a( ) a H ( ) I SSH a( )


信号子空间方法
p( ) 取峰值的 p 个 就给出1， ， p （需一维搜索）
波束形成器： w
opt
1 H R xxa ( d ) (最佳滤波器系数) 1 H a( d )R xxa ( d )
关键： 求a(ωk ) ωk 1 空间谱： P(ωk ) H 1 a (ωk )Rxx a(ωk ) 最大幅值对应的 ωk 即为所求。
8
空间谱估计
3. 子空间方法
假设1： 对于不同的
i
值，向量
a( i ) 线性独立
假设2： 各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差，且不相关
0 E e(n)eH (n) 2I E e(n)eT (n) 0 Ee(n)


w a(k )
H
2
i 1,i k

p
E si (n )

2

w a(i ) 2 w
H
2
2
波束形成条件 干扰拒绝条件，零点形成条件
6
空间谱估计
则，E z (n)

2

E sk (n)

2

2 w
2
在 w H a(k ) 1 约束条件下，使 min E z (n)
方向矩阵
1 e j2 e j ( m 1)2
j e p j ( m 1) p e 1
空间谱估计
信号模型 xk (n) ak (i ) si (n) ek (n), k 1,..., m
i 1 p
阵元k上的观测数据
x(n) x1 (n)，...，xm (n)
a( )s (n) e(n)
i i
p
(期望信号) (干扰信号) (加性噪声)
E z (n )

2

1 lim N N
z(n) w H E x(n)x H (n)w
2 n 1 2
N
E sk (n )
H w a( k ) 1 H w a(i ) 0, i k
T
e(n) e1 (n)，...，em (n)
T
s(n) s1 (n)，...，s p (n)
T
A() a1 (1 )，...，am (p )
T ( mxp )
阵列信号处理的数学模型： x(n) A( )s(n) e(n)
阵列信号处理的问题：
1
九、 空间谱估计
2.阵列信号处理问题（array signal processing)
阵列：多个天线的组合 每个天线－阵元：天线、传感器 假设: (1) 窄带信号 si (n)
*i (n)
：点信源
波达方向 (DOA:direction of arrival)： 入射线与法线之间的夹 角，可以有正 有负。
令复白噪声分量ei (n) xi (n) jyi (n), 则 E ei (n)e j (n) 0, i j




E ei2 (n) E xi2 (n) E yi2 (n) j 2Exi (n) yi (n) 0
（实部和虚部不相关，具有相同方差）
H 假设3： P E s(n)s (n)