高等数学二重积分详解PPT课件
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类似地，若积分区域为
D :c y d , 1 ( y ) x 2 ( y )
如右图所示，则二重积分的计算 y
公式为
d
x2(y)
f(x,y)dxdy
b
[
2(x) f(x,y)dy]dx
x1(y)
a 1(x)
c
D
D
b
d
x2(x)
f
(x,
y)dy
a
1(x)
o
x
.
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
第二节 二重积分的计算
一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法
.
1
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
一 直角坐标系中的计算方法
分别用平行于x轴和y y
轴的直线对区域进行分
d
割，如图。可见，除边缘
外，其余均为矩形，其面 Δy
积为
xy
c
可以证明：
oa
Δx
Δσ bx
f(x,y)df(x,y)dxdy
0 2 x
2 2 x
I dx2 f(x,y)d ydx2 f(x,y)dy
2 0
00
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
D : 2 x 0 ,0 y 2 x 及 0 x 2 ,0 y 2 x
2
2
可知积分区域由 y0, y2x, y2x
2
2
所围成，如下图：
.
14
y
故改变积分次序后得
(8,4),(2,-2)，如右图。 1）先对y后对x积分：
y
y x4
(8,4) y2 2x
o
8
x
(2,2)
得 D :0 x 2 , 2 x y 2 x 及 2 x 8 ,x 4 y 2 x
所以
2
2x
8
2x
I dx f(x,y)d ydxf(x,y)dy
0 2x
2 x 4
1
1 22y
I dy f(x,y)dx 0 2y2
-2
o
2x
二、极坐标系中的计算方法
1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中 的二重积分
如图所示的极坐标系中
的积分区域D， 过极点O引
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
.
15
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
o
x
.
7
例1 计算 I x2ydxd,yD为直线 yx与抛物线
D
y x2 所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
解：积分区域D如图。
y
法一 先y后x。
将积分区域投影到x轴上，
得到x的范围[0，1].
D
在[0，1]上任取一点x，
o
x1
x
过该点作一条平行于y轴的射线， 先穿过的边界
y x2 作y的积分下限， 后穿过的边界 yx作y的上
限，这样就有
.
8
D : 0x1 , x2yx
所以
I 0 1 dx x 2 x x 2 y d 0 1 [1 2 y x 2 y 2 ] x x 2 1 20 1 (x 4 x 6 ) d 3 x 15
rri ri
i 1 2(riri)2i1 2ri2i
r ri
12(2ri ri)rii
ririi
i o
i i
i
i
ri
先对x后对y积分：
I
1
dy
y x2ey2dx
0
0
y
y 1
yx
1
1[1x3ey2 03
]0y
dy
o
x
பைடு நூலகம்
1 1y3ey2dy 11
30
6 3e
注意：若先对y后对x积分：
.
13
I
1
dx
1x2ey2dy
0
x
e y 2 的原函数无法用初等函数表示出来，因而
此二重积分不能计算出来。
例4 交换下列二重积分的积分次序：
得
VbS(x)d xb [2(x)f(x,y)d]d yx
a
a 1(x)
.
4
于是，得二重积分的计算公式：
D f( x ,y ) d xa b [d 1 2 ( ( x x ) )y f( x ,y ) d ] d y x a b d 1 2 ( x ( x x ) )f( x ,y ) dy
法二
y
将积分区域投影到y轴上， 1
得到y的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点y，
y D
过该点作一条平行于x轴的射线， o
x
则先穿过的边界 xy为x的下限，后穿过的边界
x y 为x的上限，于是
.
9
D : 0y 1 , yxy.
所以
I0 1 dyy yx 2 y d 0 1 [1 3 x x 3 y ]y y d 1 3 y0 1 (y 5 2 y 4 )d 3 y 15
D
D
其中dxdy称为面积元素。
.
2
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
以下均设函数 f(x,y)0且在D上连续。
（1）当积分区域为
a x b ,1 ( x ) y 2 ( x )
如图所示：
zf(x,y)
y
y2(x)
z
D y
y1(x)
oa
bx
o
相应的曲顶柱体如右图。
.
y2(x)
D
y1(x)
小结：在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。
.
10
例2 将 I f(x,y)d化成二次积分，其中D由
D
yx4,y22x围成。
解：解方程组
y x4
y
2
2x
得这条直线和抛物线的交点为
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行于
y1(x)
y轴的射线， 先穿过的边界 o a x
bx
y1(x) 是y的积分下限，
.
6
后穿过的边界 y2(x)是y的积分上限。
.
11
2）先对x后对y积分：
得
y2
D: 2y4, xy4
2
如图。
y
所以
I f(x,y)d
D
4
y4
d
2
yy2
f(x,y)dx
2
4
(8,4)
o
-2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
.
12
例3 计算 I x2ey2dxd,y 其中D由 x 0,
D
y1及yx 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
a
bx
3
在区间[a，b]
zf(x,y)
内任取一点x，过此
z
点作与yoz面平行 的平面，它与曲顶
y2(x)
柱体相交得到一个
一个曲边梯形：
y
D
y1(x)
底为 1(x)y2(x)
高为 zf(x,y)
o
a
x
bx
其面积为
S(x) 2(x) f(x,y)dy
1(x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
D :c y d , 1 ( y ) x 2 ( y )
如右图所示，则二重积分的计算 y
公式为
d
x2(y)
f(x,y)dxdy
b
[
2(x) f(x,y)dy]dx
x1(y)
a 1(x)
c
D
D
b
d
x2(x)
f
(x,
y)dy
a
1(x)
o
x
.
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
第二节 二重积分的计算
一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法
.
1
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
一 直角坐标系中的计算方法
分别用平行于x轴和y y
轴的直线对区域进行分
d
割，如图。可见，除边缘
外，其余均为矩形，其面 Δy
积为
xy
c
可以证明：
oa
Δx
Δσ bx
f(x,y)df(x,y)dxdy
0 2 x
2 2 x
I dx2 f(x,y)d ydx2 f(x,y)dy
2 0
00
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
D : 2 x 0 ,0 y 2 x 及 0 x 2 ,0 y 2 x
2
2
可知积分区域由 y0, y2x, y2x
2
2
所围成，如下图：
.
14
y
故改变积分次序后得
(8,4),(2,-2)，如右图。 1）先对y后对x积分：
y
y x4
(8,4) y2 2x
o
8
x
(2,2)
得 D :0 x 2 , 2 x y 2 x 及 2 x 8 ,x 4 y 2 x
所以
2
2x
8
2x
I dx f(x,y)d ydxf(x,y)dy
0 2x
2 x 4
1
1 22y
I dy f(x,y)dx 0 2y2
-2
o
2x
二、极坐标系中的计算方法
1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中 的二重积分
如图所示的极坐标系中
的积分区域D， 过极点O引
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
.
15
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
o
x
.
7
例1 计算 I x2ydxd,yD为直线 yx与抛物线
D
y x2 所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
解：积分区域D如图。
y
法一 先y后x。
将积分区域投影到x轴上，
得到x的范围[0，1].
D
在[0，1]上任取一点x，
o
x1
x
过该点作一条平行于y轴的射线， 先穿过的边界
y x2 作y的积分下限， 后穿过的边界 yx作y的上
限，这样就有
.
8
D : 0x1 , x2yx
所以
I 0 1 dx x 2 x x 2 y d 0 1 [1 2 y x 2 y 2 ] x x 2 1 20 1 (x 4 x 6 ) d 3 x 15
rri ri
i 1 2(riri)2i1 2ri2i
r ri
12(2ri ri)rii
ririi
i o
i i
i
i
ri
先对x后对y积分：
I
1
dy
y x2ey2dx
0
0
y
y 1
yx
1
1[1x3ey2 03
]0y
dy
o
x
பைடு நூலகம்
1 1y3ey2dy 11
30
6 3e
注意：若先对y后对x积分：
.
13
I
1
dx
1x2ey2dy
0
x
e y 2 的原函数无法用初等函数表示出来，因而
此二重积分不能计算出来。
例4 交换下列二重积分的积分次序：
得
VbS(x)d xb [2(x)f(x,y)d]d yx
a
a 1(x)
.
4
于是，得二重积分的计算公式：
D f( x ,y ) d xa b [d 1 2 ( ( x x ) )y f( x ,y ) d ] d y x a b d 1 2 ( x ( x x ) )f( x ,y ) dy
法二
y
将积分区域投影到y轴上， 1
得到y的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点y，
y D
过该点作一条平行于x轴的射线， o
x
则先穿过的边界 xy为x的下限，后穿过的边界
x y 为x的上限，于是
.
9
D : 0y 1 , yxy.
所以
I0 1 dyy yx 2 y d 0 1 [1 3 x x 3 y ]y y d 1 3 y0 1 (y 5 2 y 4 )d 3 y 15
D
D
其中dxdy称为面积元素。
.
2
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
以下均设函数 f(x,y)0且在D上连续。
（1）当积分区域为
a x b ,1 ( x ) y 2 ( x )
如图所示：
zf(x,y)
y
y2(x)
z
D y
y1(x)
oa
bx
o
相应的曲顶柱体如右图。
.
y2(x)
D
y1(x)
小结：在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。
.
10
例2 将 I f(x,y)d化成二次积分，其中D由
D
yx4,y22x围成。
解：解方程组
y x4
y
2
2x
得这条直线和抛物线的交点为
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行于
y1(x)
y轴的射线， 先穿过的边界 o a x
bx
y1(x) 是y的积分下限，
.
6
后穿过的边界 y2(x)是y的积分上限。
.
11
2）先对x后对y积分：
得
y2
D: 2y4, xy4
2
如图。
y
所以
I f(x,y)d
D
4
y4
d
2
yy2
f(x,y)dx
2
4
(8,4)
o
-2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
.
12
例3 计算 I x2ey2dxd,y 其中D由 x 0,
D
y1及yx 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
a
bx
3
在区间[a，b]
zf(x,y)
内任取一点x，过此
z
点作与yoz面平行 的平面，它与曲顶
y2(x)
柱体相交得到一个
一个曲边梯形：
y
D
y1(x)
底为 1(x)y2(x)
高为 zf(x,y)
o
a
x
bx
其面积为
S(x) 2(x) f(x,y)dy
1(x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，