连续介质力学1d

+
T
Γ mj i k ml
+
T
im k
Γj ml
−T
ij
Γm
m kl
T jk i ;l
=
∂Ti jk ∂xl
−
Tmjk
Γm il
+
Ti
mk
Γj ml
+
Ti
Γ jm k ml
(1.104)
—
导 数
协变导数也可记为 ∇ l ( ) = ( );l
9
对矢量: 第 一 章 绪 论
F i; j
=
∂F i ∂x j
第 一 章
将张量场 T 对坐标 x l的偏导数在某一组基矢量
下分G解(以3阶张量为例)：
绪 论
∂T ∂xl
=
T
ij
k
;l
G gi
G g
j
G g
k
G
=
Ti
jk
;l
G g
i
G g
j
G g
k
(1.103)
定义张量T 的分量对坐标 x l的协变导数为:
张 量 复 习
协 变
T ij k;l
=
∂T
ij k
∂xl
张 量 的
协逆1)变变基基基矢量ggGG的ii ==导∂∂gx数xGiij gG
j
Christofell符号 z
在任意曲线坐标系中,二组
x3
x2
G x
(
x1
,
x
2
,
x
3
)
x1
基即矢均gGi随=坐∂∂xxG标i =而gG变i (化xk:)
y
x
G g
i
=
g
ij
G g
j
=
G g
i
(
x
k
)
导 数
引入Christofell符号表示基矢量求导的结果:
∇×
G F
=
ε
ijk
∇i
Fj
G g
k
第 一 章
ε ijk∇i Fj
= ε ijk ( ∂Fj
∂xi
−
Fm
Γm ij
)
= ε ijk
∂Fj ∂xi
绪
注意: ε ijk对任意二指标反对称,而 Γimj 对两个下标
论
是对称的,故ε ijk Γimj = 0
证明:对任意对称张量 N ij = N ji 和反对称张
论 导数的运算次序可交换。
张 量 复
(4)两个张量分量乘积的协变导数服从函数的 求导规律(注意只对张量分量的乘积适用，不
习 适用于张量实体的并乘)。
—
协 变 导 数
12
4)张量场的散度、旋度
第
一
对于阶数高于1的张量场函数，可定义张量场
章 绪
TG的=散TG度( xG和) =旋T度ij..。....kl
习
旋转量的定义： Q为任意正交张量
张 量
标量的旋转量： 矢量的旋转量：
u~Gϕ~==QϕG ⋅
G u
函 数
~G G G G 张量的旋转量：T = Q ⋅T ⋅ QT
3
—
13.张量场函数的导数
G
第 一 章
以称空 为间 张点 量的 场位 函置数—: —T矢G =径TGx(xG为) 自变量的张量函数
绪 论 张 量 复 习
—
曲
(1.124)
率
张 由此可知多个分量为0,不为零的独立分量仅有6个！
量
19
利用(1.94),(1.122)还可写为：
第 一 章
R = 1 (g + g − g − g ) + grs(Γ Γ −Γ Γ )
ijkl
2
ij ,kl
jk ,il
ik, jl
jl ,ik
il,r jk,s
ik,r jl,s
量
a
l
复
注意：这些公式都是实体表达式，分量表达式
习
仅在直线坐标系（基矢不变）中才有意义。
—
积 分 公 式
18
15.Riemann-Christofell张量
第 一 章
定RG义=4R阶pRrsqiegGmpagGnrngG-Cs gGhqri=stoRfeprlslq张gG量p gG(曲r gG率s gG张q 量()1：.121)
4
—
第 一 章
∂•∂引gxGij入=第Γi二jk gG类k ChristΓoifjke=ll符∂∂gxG号ij (⋅三gG k指=标∂x∂符i2∂x号Gx j)⋅，gG令k (：1.90)
∴
Γ
k ji
=
Γk ij
(1.91)
绪 论
•将第二类Christofell符号的上指标下降，
张 量
得到第一类ChG ristofell符号G ：
张 量 复
量S ij
=
−S
ji
,有
S ij N ij
=
S
N ji ji
=
− S ij N ij
故 S ij N ij = 0
习
GG G
散 度
G ∴curlF
G = ∇× F
=
ε
ijk
∇i
Fj
G gk
=
1 g
g1 ∂1
g2 ∂2
g3 ∂3
旋 度
F1 F2 F3
(1.116)
16
—
14.张量函数的积分定理
=
G ∂T ∂xi
G g
i
(1.99)
习
张 量 的
G 若T
为n阶张量,则
G dTG
为n+1阶张量。
dx
导
数
7
—
第 一 章 绪 论
•张量场的梯度G : 右梯度： T∇
=
TG′( xG )
=
G ∂T
G g
i
(右梯度即张量场的导数)
左梯度：
G ∇T
=
G g
i
G ∂T ∂xi
∂xi
(1.100) (1.101)
g ij ;k
= 0,
δi j;k
=
0
协 变 导
∇k gij = 0, G∇k gGij = 0,
∇kδ
i j
=
0
数
∇I = I∇ = 0
(1.108)
11
—
(2)置换张量的分量的协变导数恒为零
第 一
εijk;l = 0,
ε ijk ;l
=
0
(1.109)
章
绪
(3)Leibnitz法则：对张量分量进行缩并和求协变
连续介质力学
第一章 绪论 张量复习 (d)
宇航学院力学系 韩斌
2009-03——2009-06
20
12.张量函数G
第 一
若G 一G个量GH (标量,矢量,张量)依赖于nG个张量自变量
章
TG1,TG2 ,...,TGn (矢量,张量)而变化,则称 H是张量
绪 论
T1,T2 ,...,TnG的张G量G函数G ，记G为： H = F (T1,T2 ,...,Tn ) (1.89)
+
F
m
Γ
i mj
Fi; j
=
∂Fi ∂x j
−
Fm
Γ
m ij
(1.105)
对2阶张量:
张
量 复 习
T ij ;l
=
∂T ij ∂xl
+
T
Γ mj i ml
+
T
Γ im j ml
(1.106)
—
协 变 导
Tj i ;l
=
∂Ti j ∂xl
−
Tmj
Γm il
+
Ti
mΓ
j ml
数
10
特别,在某坐标系中求矢径的梯度得到度量张量:
F
Γm l ml
绪 论
= ∂Fl + F m 1 ∂ g = 1 ∂( gF m)
∂xl
g ∂xm g ∂xm
(1.111)
张 量 复
二阶TG张⋅∇量=场T的ij;两j gG种i 散度计算:
习
散 度
G ∇⋅T
T ij ;j
= T ij, j
=
∇iT
ij
G g
j
+T
Γ mj i mj
+
T
Γ im j mj
•协变基对坐∂∂标xgGij 的=偏Γ j导ki gG数k ：
坐标转换关系
(1.96)
张 量
用
复途
习
•逆变基对∂∂坐xgG标ij =的−偏Γ j导il gG数l ：
(1.97)
—
张 量
• g 对坐标的偏导数:
的 导 数
Γj ji
=
Γj ij
=
1 ∂ g = 1 ∂(ln g) g ∂xi 2 ∂xi
第 一
1)Gauss-Green公式
章 给出张量场函数的体积分与沿体积外表面的面积
分之间的变换公式：
绪 论
∫ dv∇ϕG = ∫ daGϕG
∫
dv ϕG∇
=
∫
ϕGd
G a
(1.117)
张 量 复 习
v
a
∫
dv∇
⋅ϕG
=
∫
G da
⋅ϕG
v
a
v
a
∫
dvϕG
⋅∇
=
∫ ϕG
⋅
G da
(1.118)
v
a
积 分
k
G gm
j...gGk gGl
(1.113) (1.114)
张 量
利用置换张量的定义
ε ijk
=
G g
i
⋅
G (g
j
×
G g
k
)
复 习
∴
G g
j
×
G g
k
=ε
jkl
G gl
即
G T
×∇
=
G (T∇)
:
εG
GG G
∇×T = ε : (∇T ) (1.115)
15
矢量场的旋度记为:
G curlF
=
∫
dv∇
×ϕG
=
∫
G da
×ϕG
∫
dvϕG
×∇
=
∫ ϕG
×
G da
(1.119)
v
a
v
a
公
式
17
—
2)Stokes公式
第 一
给出张量场函数的面积分与沿曲面周线的线积分
章 之间的变换公式：
绪 论 张
∫
G da
⋅
(∇
×ϕG)
=
∫
G dl
⋅ϕG
a
∫
(ϕG
×
∇)
⋅
G da
=
l
∫
ϕG
⋅
G dl
(1.120)
率
张 量
即曲率张量的6个独立分量还应满足3个微分关系!
20
左、右梯度均为n+1阶张量,一般是两个不同的张量
张 量 复
仅对标量场有ϕ∇ = ∇ϕ
G
G
对矢量场有 F∇ = (∇F )T
习
•张量场的微分:
GG GG G
梯
dT = (T∇) ⋅ dx = dx ⋅ (∇T ) (1.102)
度 以上运算均涉及张量场对坐标的偏导数—协变导数
8
—
3)协变导数的G 定义
(1.112)
旋 度
∇iT ij
= T ij,i
+
T
mj
Γi mi
+
T
Γ im j mi
14
—
第 一 章 绪 论
张量TG ×的∇旋=度∂∂：xTGs
G ∇×T
=
G g
s
×
×
G g
G ∂T
∂xs
s=
=ε
T ε ij...kl;s
lsmgGi
G g
∇ T sim s ij...kl
GG gmg
j
G ...g
第 一 章
xG∇ =
G ∂x ∂x j
G g
j
=
G g
j
G g
j
=
δ
i j
G gi
G g
j
=
G I
(1.107)
绪 论 由于求协变导数的指标是张量指标,故满足指标升
降关系。
张 量
协变导数的性质:
复
(1)Ricci引理——度量张量的任何分量(协变，
习
逆变，混合)的协变导数恒为零。即
gij;k = 0,
导 数
Γk ij
=
Γ g kl ij ,l
(1.95)
5
注意:Christofell符号不是张量!
第 一 章
坐标转 换关系
Γ k′ i′j′
=
∂2x p ∂xi′∂x j′
⋅ ∂xk′ ∂x p
+
∂x p ∂xi′
∂x s ∂x j′
∂x k ′ ∂x r
Γr ps
(1.95)
不满足张量定义的
绪 论
2μE
=
T
2
2
—
各向同性张量函数
第
张量函数的表示形式一般与坐标系有关,
一 章
有一类函数,其表示形式不因坐标系的刚性旋转
(正交变换)而改变,称为各向同性函数。
绪 论
定义：一函数χ = f (X),当将自变量 X 改变为其旋
张 量 复
转量
即χ
X~
=f
时(X),函,Gχ~数=值f (X~χ)相(对应任变意为正其交旋张转量量QGχ~)
G gi
G g
j
G ...g
k
G g
l
=
T ...kl ij...
G g
i
G g
j
G ...gk
G gl
论
张 量 复 习
散 度 旋
右左散 散度 度张量∇TG的⋅⋅T∇G散==度gG∂∂s：xT⋅Gs∂∂x⋅TGgsG
= T s
... ks
ij... ;s
=
∇
sT
sj... ...kl
G g G g
i j
G g
j
...
G g
k
G ...g
k
G g
l
(1.110)
GG
张量的散度比该张量低1阶，G且一G般 ∇ ⋅T ≠ T ⋅∇
度
但对二阶对称张量，有 ∇ ⋅ N = N ⋅ ∇
13
—
例如: 矢量场的散度计算:
第 一 章
G divF
=
G F
⋅∇
G = ∇⋅ F
=
F l;l
=
∇sF s
=
∂F l ∂xl
+
2)由上个性质可得出
(1.125)
绪
Rijkl + R jkil + Rkijl = 0 (1.126)
论 3)判断空间是否是欧氏空间(是否是平直的)？
张
若 Ri jkl = 0
是欧氏空间
量 复 习
Ri jkl ≠ 0
4)Bianchi恒等式
是Riemann空间 (弯曲的空间)
—
曲
Rijkl;s + Rijls;k + Rijsk;l = 0 (1.127)
Γ ij ,l
= Γijk gkl
=
∂g j ∂xi
⋅
G g
k
g
kl
wenku.baidu.com
=
∂g j ∂xi
G ⋅ gl
=
∂
2
G x
∂xi∂x j
G ⋅ gl
(1.92)
复 习
∴ Γij,l = Γ ji,l
(1.93)
—
张 量 的
Γ ij ,l
=
1 2
(
∂g ∂x
il j
+
∂g jl ∂xi
−
∂g ij ∂xl
)
(1.94)
张 例如：矢量的标量函数
量 复 习
动能 密度
E
=
G E (v )
=
1 2
ρvG
⋅
G v
GG G 力的功 w = w(F,u) = F ⋅u
G
G
张
张量的标量函数
I1
=
GI1(T
)=
G
tr(T
G
)
=
G
T
1 1
G
+
T 22
G
+
T
3 3
量 函 数
张量的张量函数
胡克定律
σGH==λHI1(ETIG)+=
T ⋅TG
绪 论
Rp rsq
=
∂Γ
p rq
∂x s
−
∂Γrsp
∂x q
+
Γt rq
Γp ts
−
Γ
t rs
Γp tq
(1.122)
Rprsq = g pt Rt rsq
张 量 曲率张量的性质：
(1.123)
复 习
1)曲率张量的对称与反对称
Rijkl = −R jikl Rijkl = −Rijlk
Rijkl = Rklij
(1.98) 6
2)张量场函数对矢径的导数,微分和梯度
第 一 章 绪 论
其n分阶量张,基量TG矢场= 量T函G(都数xG)是:自=矢T变径ij.量....为xG.kl(矢g即Gi g径G坐j .的标..gGnxk阶gsG张)l 的量函函数数
张 量 复
•张量场的导数:
G T ′(
G x)
=
G dTG dx