【数学】2.2.1 导数的概念 课件(北师大版选修2-2)
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0
求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+(Δx)2 f 6 x x 再求
练习:
再求
y lim 6 x 0 x
例 3 如图1.1 4, 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2, 0.4, 0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
y f 2 x f 2 , 和 f 6. 根据导数的定义 x x 2 2 x 72 x 15 22 7 2 15 x
'
4 x x 2 7x x 3, x
y 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
解 当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到 3（ 2+△x x) f (2) 3(2 x) 3 2 ），函数值y关于x的平均变化率为 f (2
x 3x 3 x x
当x趋于2，即△x趋于0 s时水量的瞬时变化率， 即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以 x=2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水 管中流过的水量为3 m3
/ 0
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim lim x o x x x0 xo x1 x0 x
/
例1 一条水管中流过的水量y（单位：m3）
是时间x（单位：s）的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数，并解释它的实际 意义.
药物浓度的瞬时变化率f ' t 0.4 0 0.7 1.4
t
0.2 0.4
0.6
0.8
小结：
由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
y (2) 求平均变化率 x
y （3）求极限 f ( x0 ) lim x x 0
'
cmg/ ml
1.1
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 0.8
0.9
1.0
1.1
t m in
图1.1 4
Baidu Nhomakorabea
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率就是 , 药物浓度 f t 在此时刻的导数从图象上看 它表示 . ,
'
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 0 C / h的速 3 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 C / h的速率上升 5 .
一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻 0附近的变化 x 情况.
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 , 利用网格 线 估计这条切线的斜率可以得到此刻药物浓度 , 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线,它的斜率约为 1.4, 所以
f 0.8 1.4.
'
下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 验证 , 一下, 这些值是否正确 .
例2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义. ' 解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f 2
：
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
h(t t ) h(t ) lim • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度? t
0 0
t 0
导数的概念： 设函数y=f(x)，当自变量x从x0 变到x1 时，函数 值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率 y f ( x ) f ( x ) f ( x x) f ( x ) 为
1 0 0 0
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时，如果平均变化率趋于一个固定 的值，那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的 f (x ) 瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数.通常用符号 表示记作
第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念
导数的概念
上一节练习题中我们提到了高台跳水这个问题， 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势
求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+(Δx)2 f 6 x x 再求
练习:
再求
y lim 6 x 0 x
例 3 如图1.1 4, 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2, 0.4, 0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
y f 2 x f 2 , 和 f 6. 根据导数的定义 x x 2 2 x 72 x 15 22 7 2 15 x
'
4 x x 2 7x x 3, x
y 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
解 当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到 3（ 2+△x x) f (2) 3(2 x) 3 2 ），函数值y关于x的平均变化率为 f (2
x 3x 3 x x
当x趋于2，即△x趋于0 s时水量的瞬时变化率， 即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以 x=2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水 管中流过的水量为3 m3
/ 0
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim lim x o x x x0 xo x1 x0 x
/
例1 一条水管中流过的水量y（单位：m3）
是时间x（单位：s）的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数，并解释它的实际 意义.
药物浓度的瞬时变化率f ' t 0.4 0 0.7 1.4
t
0.2 0.4
0.6
0.8
小结：
由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
y (2) 求平均变化率 x
y （3）求极限 f ( x0 ) lim x x 0
'
cmg/ ml
1.1
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 0.8
0.9
1.0
1.1
t m in
图1.1 4
Baidu Nhomakorabea
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率就是 , 药物浓度 f t 在此时刻的导数从图象上看 它表示 . ,
'
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3 与5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以 0 C / h的速 3 率下降; 在6h附近, 原油温度大约以 C / h的速率上升 5 .
一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻 0附近的变化 x 情况.
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 , 利用网格 线 估计这条切线的斜率可以得到此刻药物浓度 , 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线,它的斜率约为 1.4, 所以
f 0.8 1.4.
'
下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 验证 , 一下, 这些值是否正确 .
例2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义. ' 解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f 2
：
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
h(t t ) h(t ) lim • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度? t
0 0
t 0
导数的概念： 设函数y=f(x)，当自变量x从x0 变到x1 时，函数 值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率 y f ( x ) f ( x ) f ( x x) f ( x ) 为
1 0 0 0
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时，如果平均变化率趋于一个固定 的值，那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的 f (x ) 瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数.通常用符号 表示记作
第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念
导数的概念
上一节练习题中我们提到了高台跳水这个问题， 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势