二次函数中的图形变换

函数图像中的图形变换

扣庄乡陈官营中学田海凤

一、学情分析

学生已经掌握了图形三种变换即：平移、旋转和轴对称的性质，知道在变换的过程中寻找到不变的量。二次函数是初中代数部分重要的内容，学生已经掌握了二次函数解析式的求法，抛物线顶点坐标的求法，理解抛物线的性质并能运用性质进行应用。把抛物线作为问题情境，让几何图形在抛物线中进行变换，学生在寻找关系中存在困难，所以本节课主要是把抛物线和几何图形的变换有机结合，意在培养学生的综合能力和解题方法，提升学生的素质。二、教学目标

知识与技能：通过本节课的学习使学生学会寻找抛物线情境下图形变换中的隐含条件，并能运用图形变换的性质转化题目中相等的线段和角，从而培养学生的解题能力，体会数学中转化、数形结合的思想。

过程与方法：学生通过独立思考、小组讨论展示、全班释疑的过程实现对问题的认识由浅入深，挖掘问题的本质，寻找解决问题的方法，从而达到发展学生能力的目的。

情感态度与价值观：学生在解决问题的过程中感受到成功的喜悦，培养学生仔细认真态度。

三、教法和学法分析

本节课我将按照独学、对学、群学的教学模式，让学生在独学中发现问题，在对学中解决问题，在全班群学中深化问题。

四、教学过程

（一）知识回顾：

图1

设计意图：帮助学生回忆二次函数、一次函数解析式的求法，坐标轴上的点的坐标特点，从而引出求平面直角坐标系中的几何图形的面积，加深学生点的坐标与线段之间的相互转换，树立数形结合思想。平面直角坐标系有着一个永远存在的直角，使学生意识到可以使用勾股定理求线段长，同时复习了直角坐标系中求线段长的方法

教学方法：学生课下完成，学生在上课前进行小组讨论，上课后让一名学生进行展示。（二）知识的整理

在“知识回顾”中你在第_______题的第______问出现问题，你出错的原因是_____________________________________________________________________________. 通过以上题目你最想对同学说的一句话是__________________________________________ 设计意图：让学生把在复习回顾中出现的问题进行整理和总结，加深学生对错误问题的认识和理解

教学方法：学生直接口述。

（三）典型示例

（2012.南充）已知抛物线2

142

y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，抛物线2

142

y x bx =-

++与x 轴分别交于点A 、E ，与y 轴交于点B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．

变式1. 如图3，抛物线y ＝333

233-2+-x x (a ≠0)

与y 轴相交于点C (0，3

)．连结AC 、BC ．若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运

动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将B

M N △沿处，求的t 值及点P 的坐标； P(

)2

3,123t t - )

6513,2173((317

1;317131233321233323212

+-+-∴--=+-=

+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=P t t t t t 舍去）

变式2. 如图4，已知抛物线y=42

1-

2

++x x 与x 轴分别交于点A 、E ，与y 轴交于点B ，连接AB 、BE . 点P 与点Q 同时从点A 出发，沿着线段AB 、A E 以2个单位每秒的速度向终点B 、N 移动，但其中一个到达终点时，另一个也停止运动.连接PQ ,把△APQ 沿x 轴向左平移，使点P 落在直线BE 上的点A ′处，求直线PQ 所扫过的四边形的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并求出当t 为何值时S 有最大值，且最大值是

多少？

设计意图：2013年学科考试说明中，图形变换的题目有选择题11、25；填空题11、17；解答题21、22、24、25、26、28； 2010年学科说明中就已经出现反比例函数与几何图形相结合的题目。纵观3年的中考试题，在2010年第22题出现反比例函数与几何图形相结合的题目。2011年26题把抛物线与矩形的面积相结合，2012年22题把反比例函数、一次函数与平行四边形相结合。2013年学科说明第26题把一次函数与折叠结合、第31题把抛物线与角的旋转结合。所以我把抛物线作为背景，把二次函数、一次函数与图形的三种变换放在一起。通过本题目的讲解，让学生学会分析此类题目的思路，掌握解决此类题目的关键是利用图像变换的性质找到相等的线段和相等的角，学会把线段和点的坐标之间进行相互的转化。从而提高学生综合的解题能力。

教学建议：留给学生充足的思考时间，学生利用8分钟的时间进行思考，然后小组讨论，最后全班展示

（四）总结与反思

通过刚才的题目你得到什么启示？你认为解决此类问题的关键是什么？

师生共同总结：

（1）在函数与几何图相结合的题目中，有线段长就有点的坐标，有坐标就可以求函数解析式；反过来，有函数解析式，就可以表示线段长，根据题目所给条件我们可以利用相似、勾股定理等关系，求一些数值。

（2）利用图像变换的性质找到相等的线段和相等的角，在函数图像的情境中学会把线段和点的坐标之间进行相互的转化是解决此类题目的关键。 （五）拓展练习（课下作业）

（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B

（－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－43

3，

0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′． （1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；