第五节 函数的微分

N
T
P
M x
Q
O
x0 x0 x
x
第五节 函数的微分
三、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
微分公式
(x ) x1
d(x ) x1dx
(sin x) cosx
d(sin x) cosxdx
(cosx) sin x
d(cosx) sin xdx
(tan x) sec2 x
解
cos(x2 1) 2xdx
dy2x
co1s(x2 1 ex2
d(11)dex
x.2
)
1 1 ex2
e x2 d( x2 )
1 1 ex2
ex2
2xdx
第五节 函数的微分
四、微分在近似计算中的应用
设函数 y = f (x) 在 x0 处可导，且 f (x0) 0， 则当 | x | 很小时有近似公式
于是有微分公式 dy f (u) g(x) dx . du g(x) dx dy f (u)du .
微分形式不变性
第第五五节节 函函数数的的微微分分
例3 y = sin(x2 + 1)，求 dy .
解
第五节 函数的微分
例4 dyy clno(s1(x2 e1xx)22d)(,x2求1d) y .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
第五节 函数的微分
那么，对于任意函数 y = f (x)，是否也有
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
本节将研究这一问题.
第五节 函数的微分
2. 定义
定义 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及 x0+x
因为 dx = x，y =所A以xd+y =o(fx()x，) x 可写成
两边除以 x 得
dyy = Af (xo()dxx) ，,
x
x
由于此是可得
lim y
x0 x
lixfm0( x)A
ddoyx(x.x)
导 数A ,也叫“微商”
这说明函数 y = f (x) 在 x 处可导，且 A = f (x ) .
第五节 函数的微分
例1 求函数 y = x2 在 x = 1 和 x = 3 处的微分.
解 由微分的定第义五d节y =函f 数(x0的)微x 有分
例2 求函dy数|xy1 f x(1)当xx0 =24x, , x = 0.03 时的增量和
微分.
解
dy |x3
f
(3)x
6x .
用计算工具计算
y x0 x x0 4.03 4 一般地，2.若00y74=8f6(x2) 在 0x.00 0处74可8微6, ，且 | x | 很小，则
N
T
P
M x
Q
MQ x , QN y .
O
QP MQ tan x f (x0 ) ,
即 dy QP .
x0 x0 x
x
第五节 函数的微分
MQ x , QN y . dy QP .
当| x | 很小时， | y – dy | 比 | x | 更小.
y
y f (x)
“以直代曲”的原理. (2) y dy .
(ex ) ex
d(ex ) exdx
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0, a
1)
d(loga
x)
1 x ln
a
dx
(a
0, a
1)
(ln x) 1 x
d(ln x) 1 dx x
第五节 函数的微分
导数公式
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arc
tan
x)
1
1 x
2
(arc
c
otx)1源自1 x2微分公式d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d(arctanx)
1 1 x2
dx
d(arccot
x)
1
1 x2
dx
第五节 函数的微分
2. 函数和、差、积、商的微分法则
求导法则
(u v) u v
第五节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
第五节 函数的微分
一、微分的定义
1. 引例
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由
x0 变到 x0 + x，问此薄片的面积改 变了多少？
x0
x (x)2
x0x
x
面积的改变量
A x02
x0
A (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .
在这区间内，如果函数的增量 y = f (x0+x) – f (x0) 可表示为
y = A x + o(x)，
其中 A 是不依赖于 x 的常数，那么称函数 y = f (x) 在
点 x0 是可微的，而A x叫做函数y = f (x)在 x0 处的微分
记作 dy，即
dy = A x .
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3.
函数可微的充要条件
第五节 函数的微分
定定理理 函函数数 ff ((xx)) 在在点点 xx00 处处可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是函函
数数 ff ((xx)) 在在点点 xx00 处处可可导导，，并并且且 ddyy == ff ((xx00)) xx ..（见p111）
证明 必要性 设函数 y = f (x) 在 x0 处可微， 则有
(Cu) Cu
(uv) uv uv
u v
uv uv v2
(v
0)
微分法则
d(u v) du dv d(Cu) Cdu d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
(v
0)
第五节 函数的微分
3. 复合函数的微分法则
设函数 y = f (u) 及 u = g(x) 都是可导函数，则 y [ f (g(x))] f (u) g(x) ,
dy
y = dy f (x0 )x
+
o(d1y) 2 x0
x
0y.03dy
. 0.0075.
4
第五节 函数的微分
二、微分的几何意义
设 M(x0 , y0) , N(x0+x , y0+y) 为曲线 y = f (x) 上的两点，
函数 y = f (x) 在 x0 处可微，
y
y f (x)
则在 M 处有切线，设为MT. 于是有
d(tan x) sec2 xdx
(cot x) csc2 x
d(cot x) csc2 xdx
第五节 函数的微分
导数公式
微分公式
(secx) sec x tan x
(cscx) cscx cot x
d(cscx) cscx cot xdx
(ax ) ax ln a (a 0, a 1) d(ax ) ax ln adx (a 0, a 1)