第一章 随机事件.ppt

例2 将一枚均匀硬币抛掷三次，A＝ {恰有两次币值面朝上}， B＝{至少有 一次出现币值面朝上}，求P(A)和P(B) 问1 将一枚均匀硬币抛掷三次，样本 点总数是多少？ 问2 事件A，B各有多少个样本点？
5对任意两个事件A, B, 有 P( A B) P( A) P( B) P( AB)． A B A B B A AB (集合的运算性质) P( A B) P( A B B A AB ) P A B P B A P ( AB )(性质2) P( A) P( AB) P( B) P( AB) P( AB)(性质4) =P( A) P( B) P( AB)
收敛级数的通项的极限为0)
2若事件A1 , A2 , An两两互斥， 即i j , 有Ai Aj = , i, j 1, 2, , n, 则有 P( A1 A2 An ) P ( A1 ) P( A2 ) P( An ) A1 A2 An A1 A2 An (空集的运算性质) P( A1 A2 An ) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) P( ) P( ) (函数P()的性质3) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
3 对任一事件A, 均有P A 1 P A A A (补集的定义) P P A P A (性质2) P A P A 1(函数P 的性质2) P A 1 P A
4对任意两个事件A, B, 有 P ( A B ) P ( A) P ( AB )． 特别地，若B A，则有 P ( A B ) P ( A) P ( B )． A A B AB (集合的运算性质) P ( A) P A B AB P ( A B ) P ( AB )(性质2) P ( A B ) P ( A) P ( AB )
• 随机事件－样本空间的任一个子集合都 表示一个随机事件。用大写英文字母 A,B,C等表示。 • 投骰子的随机试验中，A={1,3,5}表示随 机事件“奇数个点的面朝上”， B={2,4,6}，C={3,4,5, 6}各表示什么事件？ • 基本事件－只含一个样本点的随机事件。 • 投骰子的随机试验中，A1={1}, A2={2}, A3={3}, A4={4}, A5={5} A6={6}表示6个基 本事件。
特别地，-A称为为事件A的对立事件，也叫A的补事件．
练习
• P22， • 1.1：1，7 • 1.2，1.3
5 事件的运算律
交换律 A B B A, AB BA 结合律 A B C A B C , A BC AB C 分配率 A B C AB AC , A BC A B A C 对偶率 A B AB , AB A B
第一章 随机事件
• • • • • • • • • • • 1.1 基本概念 1.1.1 随机试验与事件 1.1.2 事件的关系与运算 1.2 事件的概率 1.3计数原理与古典概率模型 1.4 条件概率 1.4.1 条件概率 1.4.2 乘法公式 1.4.3 全概率公式 1.4.4 贝叶斯公式 1.5 事件的独立性
• 1，在一个标准大气压下，将水加热到 100o C，水会怎样？ • 2，向空中投一枚均匀的骰子，着陆时 哪个面将会朝上？ • 现象1是确定性现象，在某些确定的条 件满足时，某一个必然会发生的现象。 • 现象2是随机现象，在某些确定的条件 满足时，事前不能预知的现象。 • Q1,随机现象与必然现象的本质区别 是什么？
练习
• P23，1.4，1.5
事件的频率
• 定义 设A是一个事件。在相同条件下， 进行n次试验，在这n次试验中，若事 件A发生了m次，则称m为事件A在n次 试验中发生的频数或次数，称m与n之 比m/n为事件A在n次试验中发生的频 率，记为fn(A)。其大小表示A 发生的 频繁程度，频率越大，事件A发生的 越频繁，这就意味着它在一次试验中 发生的可能性越大。
概率的性质
1P( ) 0, 不可能事件的概率为0．
(空集的运算性质) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) (函数P()的性质3) P( ) 0( P( ) P( ) P( ) 是一个级数 ，和为P( )，通项为P( )，
组合－从n个球中无放回地取出k 个球的 k n(n 1) (n k 1) 取法数为C , 也记作 k! n
k n
例如，集合{1, 2,3, 4}有多少个含有2个元素 的子集合 ? 排列－从1， 2， ，n中无放回地取出k 个， 可以构成P 个整数, P ＝n(n 1) (n k 1)
fn(A)随n的变化而波动，n越大，随机波动的幅度 越小，且随着n的逐渐增大，fn(A)逐渐稳定于固 定值0.5，这就是事件A的统计规律性。
频率的性质
1 2 3
0 f n A 1 f n 1, f n 0 若事件A1 , A 2 , , A k 两两互斥，即 i, j 1, 2, , k , i j , Ai A j , f
函数P()的实例
抛掷一枚均匀硬币 " 正" 表示正面朝上； " 反" 表示反面朝上． 样本空间 {正，反} 所有事件, 即的所有子集合，它们构 成一个集合 B {{正}, {反}, {}, {}} C {0.5, 0, 1}
根据概率的定义， 随 机事件与实数之间存在 一种 对应关系，记作 P ()，且P()满足三条性质，它使得 B 中每一个元素，在 C中有唯一的一个元素与 之对应， 所以，P ()是定义在事件集合 B上的一个实值函数．
A
k i 1 i
f A i i 1
k
事件的概率
设E是随机试验，是其样本空间． 对每个事件A，定义一个实数 P ( A)与之对应． 若函数P ()条件 1 ，对于每个事件 A，均有P ( A) 0； 2，P () 1 ； 3，若可列个事件 A1 , A2 , , An , 两两互斥， 即i j , 都有Ai A j , 均有 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) .
k n k n
例如，个人排成一排，有多少种排法？ 4 Q1, 排列与组合有什么不同，又有什么联系？
古典概率模型
• 如果试验E的结果只有有限种， 且每种结果发生的可能性相同， 称这样的试验模型为等可能概率 模型或古典概率模型 ，n ,
• 事件的发生－在试验中，当事件的 一个样本点出现时，称这一事件发 生。 • 例如，投一个均匀的骰子，若4个 点的面朝上，则事件A4={4}， • B={2,4,6}, C={3,4,5,6}均发生。 • 空集Ø表示不可能事件，样本空间 Ω表示必然事件 ,为什么？
事件的关系与运算
1, A B x A x B (若x为元素) 若事件A发生，则事件B发生(若x为样本点) 称事件B包含事件A． 2, A B x A B x A或x B (若x为元素) 事件A发生，或事件B发生，(若x为样本点) 或者说，事件A，B至少有一个发生，称A B为 事件A与事件B的和事件，也记作A B． 也可以推广为多个事件A1 ,A2 , ,An的和 A1 +A2 An
古 典 概 率 的 计 算 公 式
P 1 ＝P 2 ＝＝P n
则， 1＝P ＝P 1 2 n P 1 P 2 P n nP 1 P 1 ＝P 2 ＝＝P n 1 n 若事件A＝ i1 i2 ik 1 i1 ik n, 则
例1，‘抛硬币’试验，若规定均匀硬币的币 值面向上为事件A发生，有关数据表如下
实验者 D.Mogen C.D.Buffon K.Pearn K.Pearn
n 2048 4040 12000 24000
m 1061 2048 5981 12012
fn(A) 0.5181 0.5069 0.4984 0.5005


P A ＝P i1 P i2 P ik ＝k n


例题与习题选讲
• 例1 掷一颗均匀骰子，A表示所掷结果 • 为‘四点或五点’，B表示所掷结果为 ‘偶数点’，求P(A)和P(B) • 解，样本点总数n=6； • 事件A 包含的样本点数kA=2； • P(A)=kA/n=2/6=1/3. • 事件B 包含的样本点数kB=3； • P(B)=kB/n=3/6=1/2.
• 试验－对某种现象的一次观察，测量 或进行一次科学实验，统称为一个试 验． • 随机试验－如果一个试验在相同的条 件下可以重复进行，且每次试验的结 果事前不可预知的，则称此试验为随 机试验，简称为试验，记为E． • 通常用随机试验的方法研究随机现象
• 样本点，随机现象的一个可能结果。 • 投一颗均匀的骰子，这个随机现象的样 本点是什么？它可以表示为1，2，3，4， 5 ，6 ？ • 样本空间，随机现象的所有可能结果构 成的集合，记为Ω。投一颗均匀的骰子， 这个随机现象的样本空间为Ω ＝｛1，2， 3，4，5，6｝。 • Q2，举一个随机现象的例子，说出它 的样本空间． • 练习：P22，1.1：2，4，5
3, A B x A B x A且x B(若x为元素) 事件A B发生 事件A，B都发生，(若x为样本点) 称A B为事件A与事件B的积事件，也记作AB． 特别地，若AB , 则称事件A与事件B互斥． 可以推广为多个事件A1 ,A2 ,,An的积A1 A2 An . 4, A B x A B x A且x B(若x为元素) 事件A B发生 事件A发生，但事件B不发生 (若x为样本点)，称A B为事件A与事件B的差．
Q3, 你能推导出P( A B C )，P( A B C D)， P( A1 A2 An )吗？
练习
• P23，1.6-1.10
计数原理
• 乘法原理 • 例如，从三水到佛山有2条路可走，从佛 山到广州有3条路可走，那么，从三水经 过佛山到广州总共有2×3＝6条路可走． • 加法原理 • 例如，从佛山到广州可以做地铁，火车， 大巴，公交车，开小车，骑单车，走路， 那么，从佛山到广州总共有7种方式．