§3.5 微分与近似计算

(1) arctan1.02 (2)1.991.99 (ln 2 = 0.6932)
第三章经济变量的变化率
3, ,
(1) 0.7954 (2) 3.9323
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�
u vdu udv (3)d = ; 2 v v
x 求 dy . ln x ln x 2 答案 e x (sin x + cos x) + dx . 2 2 x ln x 练习 已知 y = cos x ,求dy . 1 x2
例 已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy = e x sin x +
2 x cos x (1 x 2 ) sin x 答案 dx . 2 2 (1 x )
dy x =0 = 0 .
由此定理知,求微分dy,只要求出导数f ′( x),再乘以dx即
可,因此利用导数的基本公式可直接导出微分的基本公式. 因此利用导数的基本公式可直接导出微分的基本公式.
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dC = 0 d sin x = cos xdx d tan x = sec 2 xdx d sec x = sec x tan xdx
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定义 对函数y = f ( x),若对x,有
y = Ax + o(x) (*)
其中A为与 无关的常数 则称f(x)在 可微, 其中 为与x无关的常数,则称 在x0可微,Ax为y=f(x) 为与 无关的常数, 为 处的微分 微分, 在x0处的微分,记为 dy = df ( x) = A x dy称为 的线性主部. 称为y的线性主部. 称为 不能写成(*)式时,称y=f(x)在x0不可微或微分不存在. 不能写成 式时, 式时 在 不可微或微分不存在. 由于dx=x,故一般记 注 ①由于 ,故一般记dy=Adx; ; 无关, 有关; ②A与x无关,但与 ,f(x)有关; 与 无关 但与x, 有关 等价: ③当A≠0时,dy与y等价:dy~y,x→0. 时 与 等价 . ④导数是一个(函)数,微分是因变量的改变量的近似值. 导数是一个 函 数 微分是因变量的改变量的近似值. 第三章经济变量的变化率
x0
x
(x)2
x
x0x
A= x0 = 2
x0x
x0
= 2 x0 x + (x) 2
(1) (2)
(1) : x的线性函数且为 y的主要部分 , ; (2) : x的高阶无穷小 x 很小时可忽略 ,当 ..
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确定, 例 函数 y = f ( x)由x 3 + ln y x 2 e y = 0确定,求 dy .
答案
(2 xe y 3x 2 ) y dx . 2 y 1 x ye
练习 函数y = f ( x)由sin y + xe y = 0确定,求 dy . 确定, 答案
ey dx . y cos y + xe
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二,可微性条件 定理 y = f ( x)在x = x0 可微:dy = Adx y = f ( x)在x = x0
dy 可导: dx = A.
x = x0
由此可知,导数可看作 与 的商 因此也称微商 的商, 微商. 由此可知,导数可看作dy与dx的商,因此也称微商. 例 求y = cos x在x0 = 0的微分 . 答案
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对函数y=f(x)=x2: 对函数 x——边长 边长 y——面积 面积 假设对x=x0,y0=f(x0)已求 假设对 已求 出,为求y1=f(x1),则需求 为求 ,则需求y.
2 y = y1 y 0 = x12 x0 2 = ( x0 + x) 2 x0
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1 x2 dx d arctan x = 1+ x2
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d arcsin x =
d arccos x =
dx
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定理 若函数u ( x),v( x)都可微,则: 都可微, (1)d (u ± v) = du ± dv; (2)d (uv) = vdu + udv;
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1,求微分 ,
1, ,
(1) y = x
(2) y = ln(x +
1 x + arcsin x
2
x2 a2
sin x
)
x2 a2 (3) (tan x )sin x (cos x ln tan x + sec x )
(1) 2
1 x dx (2)
2
dx
(3) y = (tan x)
例 已知 y = ln arccos 1 ,求 dy .
x
答案
dx 1 2 x x 1 arccos x
.
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练习 已知y = e ax sin bx,求dy . 答案 e ax (b cos bx a sin bx)dx .
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四,在近似计算中的应用
由y = f ( x) f ( x0 ) = dy + o(x) ≈ dy = f ′( x0 )dx得
f ( x) ≈ f ( x0 ) + dy = f ( x0 ) + f ′( x0 )dx
da x = a x ln adx dx d log a x = x ln a
dx = x 1 dx d cos x = sin xdx d cot x = csc 2 xdx d csc x = csc x cot xdx
de x = e x dx dx d ln x = x
dx 1 x2 dx d arc cot x = 1+ x2
[
+x
x
2,隐函数求微分 , (1)e 2 x y cos( xy) = e 1
2, , y sin( xy) + 2e 2 x y (1) 2 x y dx e x sin( xy)
+ x x (ln x + 1) dx
]
(2)e
xy
+ y = cos( x + y )
3,计算近似值 ,
ye xy + sin( x + y ) (2) xy dx xe + 1 + sin( x + y )
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一,概念
§3.5 微分与近似计算
一般来说,求函数值很难,甚至不可能. 一般来说,求函数值很难,甚至不可能.这时我们 考虑求近似值.一般地,利用变量的改变量, 考虑求近似值.一般地,利用变量的改变量,要求函数 很容易可以求, 值f(x1),可以找到 1临近的 0,保证 0)很容易可以求, ,可以找到x 临近的x 保证f(x 很容易可以求 然后求y=y1-y0=f(x1)-f(x0)的近似值. 然后求 的近似值. 的近似值 如:要求y=ln1.01,易知ln1=0,因此关键是求出y 要求 ,易知 ,因此关键是求出 =ln1.01-ln1. . 下面以正方形的面积为例, 下面以正方形的面积为例,具体讨论如何计算因变 量的改变量的近似值. 量的改变量的近似值. 第三章经济变量的变化率
足够小时, 在|x|足够小时,可以用此式近似计算. 足够小时 可以用此式近似计算. 例 求 cos 60 20′的近似值. 的近似值. 答案 0.49496 . 练习 求 e1.02的近似值 ( 精确到小数点以后四位 数字). 答案 2.7727 .
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是说,无论 写成 写成u, , 哪一个变量的函数 的微分都等 哪一个变量的函数, 是说,无论y写成 ,x,t哪一个变量的函数,y的微分都等 y对这个变量的导数乘以这个变量的微分. 对这个变量的导数乘以这个变量的微分. 对这个变量的导数乘以这个变量的微分
应用时,由 df (u ) = f ′(u )du,将所有的 u都换成 ( x),即 应用时, 得df ( ( x) ) = f ′( ( x) )d ( x),即可进一步计算 d ( x) .
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三,微分的形式不变性 把导数复合运算法则对应到微分中: 把导数复合运算法则对应到微分中:设y=f(u),u=g(x) ,
复合函数y = f ( g ( x) )的微分dy = f ′(u ) g ′( x)dx = f ′(u )du, 也就