复数域数学模型-传递函数

b1sm1 a1sn1
denominato r
（1）D(s) =0没有重根
bm1s bm (m n) an1s an
F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和：
F (s) c1 c2 cn
s p1 s p2
s pn
ci
lim[ F (s)(s
s pi
pi )]
例4 求F (s)
bm1s bm an1s an
标准形式、有理分式形式 或多项式形式
在零初始条件下求系统或环节的传递函 数，只需要将微分方程中变量的各阶导数用 s的相应幂次代替就行了，因此从微分方程 式求传递函数非常容易。经过变换后，我们 把一个复杂的微分方程式变换成了一个简单 的代数方程。
传递函数的第二种表达形式 各项提取bm
③ 将输出变量的表达式展开成部分分式；
④ 对部分分式进行反变换，即得微分方程的 解。
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y(t) 5 dy(t) 6y(t) 2
dt 2
dt
并且设： y(0) 1, y'(0，) 试2 求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换
s2Y (s) sy(0) y' (0) 5sY (s) 5y(0) 6Y (s) 2 s
2-2 传递函数
一 拉氏变换
❖1.定义：设函数 f(t)当 t 0时有定义，设
F(s) L f t f (t)estdt
原函 且积分存在，则称F(s)是0 f(t)的拉普拉斯变换。
数
简称拉氏变换。
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
象函数
f t L1 F(s)
❖2.常用函数的拉氏变换
s
b 1
(s
c 1) 2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1,b 1, c 1
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) L1[F (s)] 1 et tet
留数法
numerator
F(s)
N(s) D(s)
b0sm a0sn
教学难点
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 意事项
注重微分方程同传递函数的对比。
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
❖ 拉式变换 ❖ 拉式反变换 ❖ 传递函数的概念和表达形式 ❖ 系统传递函数的建立 ❖ 典型环节的传递函数
D(s)=0称为系统的特征方程。
传递函数的零极点分布图
传函G(s) s 0.5 的零极点分布图
(s 1)(s 2)
2.传递函数的性质
（1）对应性：传递函数与微分方程一一对应。
如果将
s
d dt
置换，传递函数
微分方程
（2）固有性：传递函数表征了系统本身的动态
i=1
i=1
b0 (s z1)(s z2 ) (s zm ) a0 (s p1)(s p2 ) (s pn )
m
(s-zi )
K*
i 1
n
s (s-pi )
i=1
分母D(s) a0sn a1sn1 an1s an
称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 对于高阶线性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表) ，容易求出系统对 输入的响应。
引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
内容
教学目的
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。
1
2
1
2
(2)积分性质
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f 1(0)
s
s
(3)微分性质
L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
(4)终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
(5)初值定理
lim f (t) lim sF (s)
1
的原函数。
(s 1)(s 2)(s 3)
解：设F (s)
1
c1 c2 c3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
其中：
c1
lim[ s1 (s
1)( s
1
2)(s
3)
(s
1)]
1 6
c2
lim[ s2 (s
1)( s
1 2)(s
3)
(s
2)]
1 15
c3
b0
dm dt m
r (t )
b1
d m1 dt m1
r (t )
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则在零初始
条件下，对上式两边取拉氏变换，由微分性质得到
系统传递函数为：
G(s) C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
K*
(s-zi )
i 1
n
s (s-pi )
i=1
零极点增益形式 根轨迹形式 首1形式
K * b0 为根轨迹增益 a0
稳态增益K和根轨迹增益K*的定义及关系：
m
K
lim
s0
s
G
s
bm an
K*
( zi )
i 1
n
( p j )
j 1
n
K * b0 K a0
( p j )
j 1
t 0
s
(6)时间比例尺(相似)定理
L[ f ( t )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延
迟 ，则其象函数应乘以 es 。
L[ f (t )] es F (s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以e at。即
L[eat f (t)] F (s a)
lim[ s3 (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
3)]
1 10
所以： F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
所以： f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t 6 15 10
(2)D(s)=0包含r重根
F
(s)
(s
p1 ) r
(s
N (s) pr1)
m
( zi )
i 1
这两个参数是重要的调试参数。
传递函数的三大表达形式：
G(s)
b0sm b1sm1 a 0sn a1sn1
bm-1s bm a n-1s a n
u
( ais 1)
(
2 bi
s
2
2 bi bis
1)
i 1
i 1
s
(Tcis 1) (Td2is2 2 diTdis 1)
1)
(s
2)2 ]
s2
2
c
[ (s
s3 2)2 (s
1)
(s
1)]s 1
2
所以：
F(s)
1 (s 2)2
2 2 s 2 s 1
所以： f (t) (t 2)e2t 2et
用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤
① 对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程，方程中的初始值应取系统在 t=0时刻的对应值； ② 求出系统输出变量的表达式；
则f (t) L1[F (s)] eat ebt ba
例2：求
F (s)
1 s2 (s 1)
的拉氏反变换。
解：
F(s)
1 s2 (s 1)
1 s2
1 1 s s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
比较系数法
例3
求F (s)
1 s(s 1)2
的拉氏反变换。
解：F (s)
a s
G(s)
b0sm b1sm1 a0sn a1sn1
bm-1s bm a n-1s a n
因式分解
u
( ais 1)
(
s2 2
bi
2
bi
bis
1)
各项提取an
i 1
i 1
s (Tcis 1) (Td2is2 2 diTdis 1)
i=1
i=1
时间常数形式 典型环节形式 尾1形式
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。
展开的常用方法有：
配方法 比较系数法 留数法
配方法
例1：求
F(s)
1
(s a)(s b)
的拉氏反变换。
解： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
线性定常系统微分方程的一般形式为：
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t )
an1
d dt
c(t )
an c(t )
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
比较系数得
abc 1
5a 3b 2c 7
6a 2
同样求出
解得：a 1 3
b4
c 10 3
Y (s) 1 4 10 3s s 2 3(s 3)
两端进行拉氏反变换，得
y(t) 1 4e2t 10 e3t
3
3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
c1
(r
1
d (r 1)
lim[
1)! s p1 dsr1
(s
p1 ) r
F (s)]
例5
求 F (s)
(s
s 2)2
3 (s
1)
的拉氏反变换。
解：设
F(s) a b c (s 2)2 s 2 s 1
其中：
a
[ (s
s3 2)2 (s
1)
(s
2)2 ]s2
1
b
d ds
[ (s
s3 2)2 (s
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 L1[F(s)] 。由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
0
F(s) (t)estdt (t)es0dt es0 (t)dt es0 1
0
0
0
(2)例2 求阶跃函数 f (t) R 1(t)的拉氏变换。
F (s) Restdt R est R
0
s 0s
单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的拉氏变换为 1 。
s
❖3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
(t)
1
sin t
s2 2
1(t )
1 s
cost
s
s2 2
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1 sa
eat cost
sa
(s a)2 2
❖4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af (t) bf (t)] aL[ f (t)] bL[ f (t)]
(s pn )
[
(
s
cr p1
)r
(s
cr 1 p1)r1
c1 ] cr1 s p1 s pr1
其中：
cr
lim[(s
s p1
p1)r F (s)]
cr 1
d lim[ s p1 ds
(s
p1 )r
F (s)]
cn s pn
cr j
1
d( j)
j
!
lim[
s p1
ds
j
(s
p1)r F (s)]
代入初始值变换形式可得
Y (s)
s2 7s 2 s(s2 5s 6)
s2 7s 2 s(s 2)(s 3)
设 Y (s) s2 7s 2 a b c s(s 2)(s 3) s s 2 s 3
其中：a s2 7s 2
1
s(s 2)(s 3) 3
s0
b s2 7s 2 4 s(s 3)
K bm 为系统增益（放大系数）
an
返回
传递函数的第三种表达形式 各项提取b0
G(s)
b0sm b1sm1 a0sn a1sn1
bm-1s bm a n-1s a n
因式分解
b0 (s z1)(s z2 ) a0 (s p1)(s p2 )
m
各项提取a0
(s zm ) (s pn )
s 2
c s2 7s 2 10
s(s 2)
3
s 3
所以：Y (s) 1 4 10 3s s 2 3(s 3)
两端进行拉氏反变换，得
y(t) 1 4e2t 10 e3t
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3
3
如果使用比较系数法：
通分后令 (a b c)s2 (5a 3b 2c)s 6a s2 7s 2