三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理教程文件

2
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysixn ()co x, sT2 ,A正确;
2
ycox在 s0,2上是减 ,y函 cox在 数 s0,2上是
增函 ,B正 数 ;确
C.y=-sin x
D.y=sin xA错.
y=cos x为偶函数，故B错.
y=sin xcos x=1
2
sin 2x的周期为 ，故D错.
y=-sin x的周期为2,是奇函数，由图象知
在 ( 0 , ) 上是递减函数，故C正确. 2
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
[2k,2k
2
[2k,2k] 单调增区间
](k Z) ；
2
(kZ) ； [k ,k
单调减区间 单调减区间
2
[2k,2k
2
[2k,,2k]
(k Z)
2
3 ](k Z)
2
(k Z)
奇
偶
奇
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数
4
D.关于直线 x 对称
3
解析 验证法：当 x时 ,sin 2()sin0,
3
33
所y以 sin 2x()的图象 (,关 0)对 于 .称 点
3
3
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是(C )
①在 (0 , ) 上递减； 2
②以 2为周期；
③是奇函数.
A.y=tan x
B.y=cos x
2 3
3
π2kπx5π2kπk( Z),
3
6
故所求函数π 3的 2k定 π5,6π义 2k域 π(k为 Z).
2sinx10
sinx12
(2)由tanx10,得tanx1
(kZ),
cosx(π)0 xπkππ
28
2 8
2
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不
等式组的解集，如图所示：
2 k
4
A .2 B .
C .
D .
2
4
解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴
的距离的最小值为最小正周期的 1 , 故f（x）的
最小正周期为T= 4 .
4
4
3.函数y=sin (2x ) 的图象（A ）
3
A.关于点 ( ,0 ) 对称
3
B.关于直线 x 对称
4
C.关于点 ( ,0 ) 对称
的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ >0且为常数）的周 期T 2 ,函数y=Atan(x+ )(>0)的周期
T .
2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的
一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的
最小值是 , 则f(x)的最小正周期是（B ）
π
π 6
方法一 利用余弦函数的简图得知定
义域为{x|2kx2k,k Z }.
2
2
方法二 利用单位圆中的余弦线OM,依题意
知0<OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上，
∴其定义域为
{x|2kx2k,k Z }.
2
2
（2）要使函数有意义，必须使sin x-cos x≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出
［0,2 ］上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
知能迁移1 求下列函数的定义域：
(1)ylg(2sinx1) 12cosx;
lg(2sinx1) tanx1
(2)y
cosx( π)
.
28
解 (1)要使函数有意义,必须有 12si2ncxos1x00,
即 scioxn x s1 2 1,解 得 π 6 π 2 2kkπ π xx 5 6 5π π 2 2kkπ π,(kZ)
y=cos x
定义域
R
R
y=tan x
{x| xk,
2
(k∈Z)
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴: xk 对称轴:xk 对称中心:
2
(k Z)
；
对称中心:
(kZ) ；对称中
心:
(k ,0) 2
( k ,0) 2
(k Z)
(k,0)k(Z)
(k Z)
周期 单调性 奇偶性
2
2
单调增区间 单调增区间
由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确.
y=-cos x是偶函数，D错误.
题型分类 深度剖析
题型一 与三角函数有关的函数定义域
【例1】 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= sinxcosx. 思维启迪 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1.
在［0，2 ］内，满足sin x=cos x的x为 , 5 ,
44
再结合正弦、余弦函数的周期是2 ,
所以定义域为 {x|2kx5 2k,k Z }.
4
4
方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线， OM为余弦线， 要使sin x≥cos x,即MN≥OM，
则 x5(在[0,2]内).
定 4 义域4{ 为 x| 2 k x5 2 k ,k Z }.
4
4
方法三
six n co x s2six n()0,
4
将x 视为一个整,由体正弦函y数 sinx的
4
图象和性质可 2k知x 2k,
4
解得2k x5 2k,kZ.
4
4
所以定义域为 { x|2 k x5 2 k ,k Z }.
44
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.
§4.3三角函数的图象与性质
基础知识 自主学习
要点梳理
1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x
在［0，2］上的图象形状时,起关键作用的五
个点是(0,0)
、
(
2
,1)
、 ( ,0) 、
( 3 ,1) 2
、
(2,0) .余弦函数呢？
2.三角函数的图象和性质:
函 性 数 y=sin x
质